Un défi par semaine

Novembre 2022, 3e défi

Le 18 novembre 2022  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (1)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Le calendrier 2022 s’intitule : « Les maths, une aventure humaine ».

Toute une année pour partir à la découverte  de femmes et d’hommes qui, à  travers leur travail, leurs échanges, leur  génie  mais aussi leurs contradictions, ont  construit les mathématiques.

Semaine 46

Les deux carrés sont de même taille.

PNG - 48.7 ko

Quelle est la surface colorée la plus grande ?

Solution du 2e défi de novembre 2022 :

Enoncé

Réponse : Quatre concerts.

Appelons $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ et $F$ les six musiciens.
Pour se représenter la situation, faisons un dessin où une flèche sera tracée entre un musicien qui joue et un musicien qui l’écoute.
Par exemple, nous mettrons une flèche de $A$ vers $B$ si $A$ joue et $B$ l’écoute.
Puisque nous souhaitons que chaque musicien écoute tous les autres, nous devons obtenir au minimum $30$ flèches.

Si, dans un concert, un seul musicien joue et que les cinq autres écoutent (ou inversement), nous dessinerons alors $1\times 5=5$ flèches.
Si deux musiciens jouent et que les quatre autres écoutent (ou inversement), $2\times 4=8$ flèches seront dessinées.
Si trois musiciens jouent et trois autres écoutent, $3\times 3=9$ flèches seront dessinées.

Ainsi, pour un concert, neuf flèches au maximum seront dessinées.
Pour être sûr d’arriver à $30$ flèches, il faudra donc au minimum quatre concerts.
Le tableau suivant montre un exemple avec quatre concerts où chaque musicien aura écouté tous les autres.

Jouent Écoutent
$A B C$ $D E F$
$A E F$ $B C D$
$B D F$ $A C E$
$C D E$ $A B F$
Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2022 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Novembre 2022, 3e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2022

Commentaire sur l'article

  • Novembre 2022, 3e défi

    le 18 novembre à 08:12, par jokemath

    La réponse est : les surfaces colorées sont égales.

    Il y a 16 petits cercles, j’appelle r leur rayon, la surface occupée par ces 16 cercles a pour valeur s = 16× pi×r×r.
    Le grand cercle a pour rayon R, tel que R = 4r, il occupe une surface de valeur S = pi× (4r)×(4r)=16pi×r×r.

    Donc S = s

    Répondre à ce message

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