Un défi par semaine

Novembre, 2ème défi

14 novembre 2014  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (3)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2014 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 46 :

Chaque quart de cercle est divisé par un segment de droite en deux parties ayant des aires égales. Lequel des segments est le plus long ?

Solution du 1er défi de Novembre

Enoncé

La réponse est $ 4 500$.

Distinguons deux cas : soit un des chiffres pairs répété est en fin de nombre (quand on lit le nombre de gauche à droite) ; soit les deux chiffres identiques sont dans les quatre premières positions.

Dans le premier cas où le chiffre pair répété est en fin de nombre, l’autre chiffre identique doit être dans la première, seconde ou troisième position, ce qui veut dire qu’il y a $3$ positions et $5$ nombres pairs possibles pour ce chiffre. Le voleur doit ensuite choisir une position pour le chiffre impair, ce qu’il peut faire de $3$ manières, et il y a $5$ nombres impairs possibles. Une fois cela fait, il doit encore placer deux nombres pairs dans les deux cases restantes. Pour le premier nombre pair le voleur a $4$ possibilités, puisqu’il a déjà mis le pair qui se répète, et pour le second nombre pair il a alors seulement $3$ possibilités.
Par conséquent, dans ce cas, le voleur a

$3 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 5\cdot 4 \cdot 3=5^2 \cdot 3^3 \cdot 4= 2 700$ possibilités.

Dans le second cas, le nombre pair répété peut aller dans les cases : une et trois, une et quatre ou deux et quatre, ce qui fait $3$ possibilités, avec $5$ valeurs possibles pour ce nombre pair. Dans la case finale doit aller un autre chiffre pair, pour lequel le voleur a $4$ possibilités. Il reste alors deux cases libres. L’une est pour le chiffre impair, ce qui veut dire qu’il y a $2$ possibilités pour mettre n’importe lequel des $5$ chiffres impairs ; et l’autre est pour le dernier chiffre pair, il y a 3 chiffres possibles. Au total, dans ce cas, le voleur a

$3\cdot 5 \cdot 4 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 3=5^2 \cdot 3^2 \cdot 2^3=1 800$ possibilités.

Donc la réponse finale est $2 700+1 800=4 500$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2014 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Étienne Ghys - Illustrations : Jos Leys.
2013, Googol, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Novembre, 2ème défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2014

Crédits image :

Image à la une - L’attracteur de Lorenz, par Jos Leys.

Commentaire sur l'article

  • Novembre, 2ème défi

    le 14 novembre 2014 à 08:34, par gedspilett

    Le segment 1 est le rayon

    Le segment 3 est plus petit que le rayon

    Le segment 2 est plus grand que le rayon (dans le triangle rectangle ainsi formé, il est l’hypoténuse)

    Le segment 2 est le plus long

    Répondre à ce message
  • Novembre, 2ème défi

    le 27 novembre 2014 à 17:18, par Pierre de la Harpe

    Ce défi me rappelle un joli problème, trouvé chez d’Arcy Thompson,
    biologiste et mathématicien écossais,
    auteur de « On growth and form », Cambridge University Press 1917
     [1]
    (il y a eu une réédition en 1942).
    La suite de questions ci-dessous est très librement extraite de ses pages
    sur la division des cellules de certaines algues,
    voir dans le livre cité les pages 358 et suivantes.

    Question 0 :
    quel est le segment le plus court qui divise un disque, notons-le $D(0)$, en deux parties d’aires égales ?
    Réponse 0 :
    c’est le diamètre, et les deux parties ont la même forme,
    ce sont des demi-disques, notons-les $D(1,a)$ et $D(1,b)$.

    Question 1 :
    quel est le segment le pus court qui divise $D(1,a)$ en deux parties d’aires égales ?
    Réponse 1 (sauf erreur de ma part) :
    c’est un rayon perpendiculaire au diamètre du demi disque ;
    appelons $D(2,aa)$ et $D(2,ab)$ les deux parties obtenues.

    ...

    Question k :
    quel est le segment le plus court qui divise $D(k-1,a_1a_2..a_k)$ a en deux parties d’aires égales ? (chaque $a_j$ est ou bien a ou bien b).
    Réponse k, même pour k assez petit :
    personne n’en sait plus rien ; et même pour k encore plus petit,
    tout un chacun risque bien de conjecturer une réponse fausse, ou correcte mais insuffisamment justifiée.

    En d’autres termes, je suis persuadé que, pour un k étonamment petit,
    la question k est déjà un PROBLEME OUVERT.

    Cette suite de questions se prête à de nombreuses variations.
    On peut remplacer « segment » par « courbe ».
    On peut ajouter une contrainte à ces courbes,
    par exemple celle d’être perpendiculaires aux bords des domaines à diviser.
    On peut aussi remplacer « disque, segment, aire » par « boule, section plane, volume ».

    Et cetera ! une foule de questions ouvertes en géométire à deux ou trois dimensions.

    [1Disponible ici
    [>https://ia700501.us.archive.org/1/items/ongrowthform1917thom/ongrowthform1917thom.pdf].

    Répondre à ce message
  • Novembre, 2ème défi

    le 5 décembre 2014 à 09:17, par André Perrenoud

    Pour faire un pas en avant, étudions de plus près de cas k = 2, soit trouver le plus court segment qui divise un quart de cercle en deux partes d’aire égale.

    On trouve que le segment le plus court mesure environ 89% du rayon.

    Lien vers la solution :

    http://math.heig-vd.ch/fr-ch/Recherche/Recherches/Diviser_un_quart_de_disque.pdf

    Répondre à ce message

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