Un défi par semaine

Novembre 2014, 3ème défi

Le 21 novembre 2014  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (11)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2014 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 47 :

Les longueurs des côtés du rectangle du coin ont pour rapport $2$. Combien de tels rectangles peut-on loger dans le carré ?

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Solution du 2ème défi de Novembre

Enoncé

La réponse est $(2)$.

Observons que le segment du troisième dessin est plus court que le rayon du cercle, donc ce segment est plus court que celui du premier dessin.

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D’autre part, le segment du second dessin est l’hypoténuse d’un trianglerectangle dont l’un des cathètes (côtés adjacents à l’angle droit) est un rayon, donc le segment du second dessin est plus long que celui du premier dessin.
Par conséquent, le segment le plus long est le second.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2014 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Étienne Ghys - Illustrations : Jos Leys.
2013, Googol, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Novembre 2014, 3ème défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2014

Crédits image :

Image à la une - L’attracteur de Lorenz, par Jos Leys.

Commentaire sur l'article

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  • Novembre, 3ème défi

    le 28 novembre 2014 à 08:23, par André Perrenoud

    Bonjour,

    Très joli problème ! La réponse est 40.

    Solution :

    Prenons le rayon du cercle égal à 1. Soit O le centre du centre du cercle.

    Choisissons un système cartésien Oxy dont l’axe x est horizontal et l’axe y vertical.

    Considérons le point inférieur gauche du petit rectangle et baptisons ses coordonnées (cos(phi) ; sin(phi)).

    L’équation qui donne phi s’écrit (1-cos(phi))/(1-sin(phi))=2

    Pour la résoudre, utiliser les formules trigonométriques exprimant le sinus et le cosinus en fonction de l’angle moitié.

    On trouve tan(phi/2)= 1/2

    D’où sin(phi/2)=1/racine(5) et cos(phi/2)=2/racine(5)

    Le grand côté du petit rectangle vaut (1-cos(phi))=2sin^2(phi)=2/5. Le petit côté vaut 1/5.

    Donc on peut loger exactement 40 petits rectangles dans ce carré

    Répondre à ce message

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