Un défi par semaine

Novembre, 4ème défi

28 novembre 2014  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (4)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2014 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 48 :

En considérant toujours la racine positive, trouver la valeur de :

$\sqrt{6 +\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\cdots}}}}.$

Solution du 3ème défi de Novembre

Enoncé

La réponse est $50$ rectangles.

Soient $l$ le côté court du rectangle et $r$ le rayon du cercle. Alors, les côtés du triangle rectangle de la figure ont pour longueurs $r$, $r-l$ et $r-2l$.

PNG - 28.7 ko

D’après le théorème de Pythagore on a

$(r-l)^2+(r-2l)^2 = r^2$

$r^2-6lr+5l^2 = 0$

$(r-l)(r-5l) = 0,$

soit $r=l$ ou $r=5l$. Or on a $r>2l$, d’où $r=5l$.

Par conséquent, les côtés du carré mesurent $2r=10l$, et on peut alors placer 50 rectangles de côtés $l$ et $2l$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2014 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Étienne Ghys - Illustrations : Jos Leys.
2013, Googol, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Novembre, 4ème défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2014

Crédits image :

Image à la une - L’attracteur de Lorenz, par Jos Leys.

Commentaire sur l'article

  • Novembre, 4ème défi

    le 28 novembre 2014 à 07:45, par André Perrenoud

    Bonjour,

    La réponse est 3.

    Soit x la racine cherchée.

    On trouve x en résolvant l’équation : racine(6+x)=x

    6+x=x^2

    (x+2)(x-3)=0

    ==> x=3

    (-2 ne convient pas)

    Répondre à ce message
    • Novembre, 4ème défi

      le 28 novembre 2014 à 11:32, par grafton

      En toute rigueur, il faut en premier lieu démontrer que cette série de nombres converge.

      Elle est de toute évidence croissante et si on suppose que u(n-1) est inférieur à 3 (ce qui est le cas pour les premiers termes), alors on a

      u(n)^2 = u(n-1)+6<3+6 et donc u(n)<3 . La récurrence est donc vérifiée.

      La suite de nombres étant croissante et bornée, elle converge dans l’ensemble des nombres réels.

      On peut alors trouver la solution selon la méthode proposée.

      Répondre à ce message
  • Novembre, 4ème défi

    le 28 novembre 2014 à 16:27, par André Perrenoud

    Merci.

    La rigueur est au mathématicien ce que la corde est à l’alpiniste.

    Un chose remarquable à propos ce cette suite est que tous ses termes sont irrationnels et qu’elle converge vers un nombre entier.

    Il existe d’autres suites où tous les termes sont rationnels et qui tendent vers une limite irrationnelle, voir transcendante. Celle qui donne le nombre e par exemple.

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    • Novembre, 4ème défi

      le 28 novembre 2014 à 16:44, par grafton

      Merci à vous de ne pas avoir relevé mes erreurs de vocabulaire. Il ne s’agit pas d’une série mais d’une suite. Elle ne converge pas mais elle admet une limite.

      Les mathématiques sont un peu lointaines dans mes souvenirs....Un peu de gymnastique ne ferait pas de mal.

      Répondre à ce message

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