Un desafío por semana

Noviembre 2014, cuarto desafío

El 28 noviembre 2014  - Escrito por  Ana Rechtman
El 28 noviembre 2014
Artículo original : Novembre 2014, 4ème défi Ver los comentarios
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Les proponemos un desafío del calendario matemático 2014. Su solución aparecerá cuando se publique el siguiente desafío.

Semana 48:

Considerando siempre la raíz positiva, encontrar el valor de:

$\sqrt{6 +\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\cdots}}}}$

Solución del tercer desafío de noviembre

Enunciado

La respuesta es $~50~$ rectángulos.

Sean $~l~$ el lado corto del rectángulo y $~r~$ el radio del círculo. Entonces los lados del triángulo rectángulo de la figura tienen como longitudes $~r$, $~r-l~$ y $~r-2l~$.

PNG - 28.7 KB

Por el teorema de Pitágoras, se tiene

$(r - l)^2 + (r - 2l)^2 = r^2,$

$r^2 - 6lr + 5l^2 = 0,$

$(r - l)(r - 5l) = 0,~$

es decir, $~r = l~$ o $~r = 5l$. Ahora bien, se tiene $~r > 2l$, de donde $~r = 5l$.

En consecuencia, los lados del cuadrado miden $~2r = 10l$, y se puede entonces colocar 50 rectángulos de lados $~l~$ y $~2l$.

Post-scriptum :

Calendario Matemático 2014 - Bajo la dirección de Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textos: Étienne Ghys - Ilustraciones: Jos Leys.
2013, Googol, Presses universitaires de Strasbourg. Todos los derechos reservados.

Artículo original editado por Ana Rechtman

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Para citar este artículo:

— «Noviembre 2014, cuarto desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2014

Créditos de las imágenes:

Imagen de portada - ’’El atractor de Lorenz’’, por Jos Leys.

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