Un desafío por semana

Noviembre 2017, cuarto desafío

Le 24 novembre 2017  - Ecrit par  Ana Rechtman
Le 24 novembre 2017
Article original : Novembre 2017, 4e défi Voir les commentaires
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Les proponemos un desafío del calendario matemático 2017 cada viernes, y su solución a la semana siguiente.

Semana 47 :

En cada casilla de una cuadrícula de $3\times 3$ escribimos un número, de tal manera que el producto de los $4$ números de los cuadrados de $2\times 2$ sea igual a $2$ y el producto de los $3$ números de cada fila o columna sea igual a $1$. ¿Cuál es el número de la casilla central de la cuadrícula ?

Solución del tercer desafío de noviembre :

Enunciado

La respuesta es un solo número.

Escribiremos la ecuación como $2x^2-2x-2x\sqrt{x^2-2x}=1$. Sea $y=\sqrt{x^2-2x}$. Tenemos $2x^2-2x=x^2 + (x^2-2x)=x^2+y^2$, y la ecuación se vuelve $x^2+y^2-2xy=1$, por lo que $(y-x)^2=1$. Luego, $y-x=\pm 1$.

Si $y-x=1$, entonces $y=1+x$, y como $x^2-2x=y^2$,

$x^2-2x = (1+x)^2$

$x^2 -2x =1+2x+x^2$

$x = -\frac{1}{4}.$

Si $y-x=-1$, entonces $y=x-1$ de donde $x^2-2x=(x-1)^2=x^2-2x+1$, lo que implica que $0=1$, por lo que no existen soluciones en este caso. Finalmente, $x=-\frac{1}{4}$ es la única solución de esta ecuación.

Post-scriptum :

Calendario Matemático 2017 - Bajo la dirección de Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textos : Ian Stewart.
2016, Presses universitaires de Strasbourg. Todos los derechos reservados.

Article original édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

— «Noviembre 2017, cuarto desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2017

Crédits image :

Image à la une - SSGUY / SHUTTERSTOCK

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