Un desafío por semana

Noviembre 2017, tercer desafío

Le 17 novembre 2017  - Ecrit par  Ana Rechtman
Le 17 novembre 2017
Article original : Novembre 2017, 3e défi Voir les commentaires
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Les proponemos un desafío del calendario matemático 2017 cada viernes, y su solución a la semana siguiente.

Semana 46 :

¿Cuántos números reales satisfacen la ecuación

$2x^2-2x = 2x\sqrt{x^2-2x} +1 \text{?}$

Solución del segundo desafío de noviembre :

Enunciado

La respuesta es $4$ triángulos.

Observemos que existen solo $2$ triángulos equiláteros no congruentes : $ABC$ y $AFE$.

PNG - 20.8 ko

Escojamos uno de los vértices, por ejemplo $A$. Al usar una altura del triángulo original, podemos formar dos triángulos : $ABD$ y $ADE$. Los otros triángulos que tienen a $A$ como vértice son $ADC$, $AFC$, $ABE$ y $AFD$ : los tres primeros son congruentes con $ABD$, y el último lo es con $ADE$.

Por simetría, los triángulos que tienen a $B$ o $C$ como uno de sus vértices se comportan de la misma manera que los que tienen como vértice a $A$. Finalmente, el único triángulo que no incluye ni a $A$, $B$, o $C$ entre sus vértices es el triángulo $DEF$, el cual es congruente con $AFE$. Por lo tanto, podemos encontrar en total solo cuatro triángulos no congruentes.

Post-scriptum :

Calendario Matemático 2017 - Bajo la dirección de Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textos : Ian Stewart.
2016, Presses universitaires de Strasbourg. Todos los derechos reservados.

Article original édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

— «Noviembre 2017, tercer desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2017

Crédits image :

Image à la une - SSGUY / SHUTTERSTOCK

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