Un desafío por semana

Noviembre 2018, cuarto desafío

Le 23 novembre 2018  - Ecrit par  Ana Rechtman
Le 23 novembre 2018
Article original : Novembre 2018, 4e défi Voir les commentaires
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Proponemos un desafío del Calendario Matemático por semana y su solución a la semana siguiente. ¡El calendario 2019 está en librerías (en Francia) !

Semana 47 :

Siempre considerando la raíz positiva, encontrar el valor de :
\[ \sqrt{6 +\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\cdots}}}}. \]

Solución del tercer desafío de noviembre :

Enunciado

La solución es : $50$ rectángulos.

Sean $l$ el lado menor del rectángulo y $r$ el radio de la circunferencia. Entonces, los lados del triángulo rectángulo de la figura tienen por largos $r$, $r-l$ y $r-2l$.

Por el teorema de Pitágoras, tenemos entonces
\[\begin{eqnarray*} (r-l)^2+(r-2l)^2 & = & r^2\\ r^2-6lr+5l^2 & = & 0\\ (r-l)(r-5l) & = & 0, \end{eqnarray*}\]
por lo que $r=l$ o $r=5l$. Sin embargo $r>2l$, luego $r=5l$.

Por lo tanto, los lados del cuadrado miden $2r=10l$, y podemos ubicar entonces $50$ rectángulos de lados $l$ y $2l$.

Post-scriptum :

Calendario matemático 2019 - Bajo la dirección de Ana Rechtman, con la contribución de Nicolas Hussenot - Textos : Claire Coiffard-Marre y Ségolen Geffray. 2018, Presses universitaires de Grenoble. Todos los derechos reservados.

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Pour citer cet article :

— «Noviembre 2018, cuarto desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2018

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