Enunciado

La respuesta es $(-202,400)$ y $(198,0)$.

Llamemos $x_1$ y $x_2$ a las raíces de la ecuación $x^2+px+q=0$. Tenemos

\[\begin{eqnarray*} (x-x_1)(x-x_2) & = & x^2+px+q\\ x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2 & = & x^2+px+q, \end{eqnarray*}\]

es decir, $x_1+x_2=-p$ y $x_1x_2=q$.

Como
\[ 198 = p+q=-(x_1+x_2)+x_1x_2=(x_1-1)(x_2-1)-1, \]
se sigue que $(x_1-1)(x_2-1)=199$.

Como $x_1$, $x_2$, $x_1-1$, $x_2-1$ son números enteros y $199$ es primo, tenemos entonces que

$x_1-1=\pm 1\quad$ y
$\quad x_2-1=\pm 199$

o

$x_1-1=\pm 199\quad$ y $\quad x_2-1=\pm 1$

Las soluciones $(x_1,x_2)$ de los sistemas de ecuaciones anteriores son : $(2,200)$, $(0,-198)$, $(-198,0)$ y $(200,2)$.

De la primera y cuarta solución obtenemos que $p=-2-200=-202$, $q=2 \cdot 200=400$ y, de la segunda y la tercera obtenemos que $p=198$, $q=0$.