Un desafío por semana

Noviembre 2018, primer desafío

Le 2 novembre 2018  - Ecrit par  Ana Rechtman
Le 2 novembre 2018
Article original : Novembre 2018, 1er défi Voir les commentaires
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Proponemos un desafío del Calendario Matemático por semana y su solución a la semana siguiente. ¡El calendario 2019 está en librerías (en Francia) !

Semana 44 :

Un ladrón quiere encontrar la combinación de una caja fuerte y tiene la siguiente información : la combinación forma un número par de $5$ dígitos ; solo uno de los dígitos es impar ; la combinación tiene $4$ dígitos distintos, el dígito repetido es par y aparece en posiciones no consecutivas, ¿Cuántas combinaciones tiene que intentar el ladrón para abrir la caja fuerte ?

Solución del cuarto desafío de octubre :

Enunciado

La respuesta es $(-202,400)$ y $(198,0)$.

Llamemos $x_1$ y $x_2$ a las raíces de la ecuación $x^2+px+q=0$. Tenemos

\[\begin{eqnarray*} (x-x_1)(x-x_2) & = & x^2+px+q\\ x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2 & = & x^2+px+q, \end{eqnarray*}\]

es decir, $x_1+x_2=-p$ y $x_1x_2=q$.

Como
\[ 198 = p+q=-(x_1+x_2)+x_1x_2=(x_1-1)(x_2-1)-1, \]
se sigue que $(x_1-1)(x_2-1)=199$.

Como $x_1$, $x_2$, $x_1-1$, $x_2-1$ son números enteros y $199$ es primo, tenemos entonces que

$x_1-1=\pm 1\quad$ y
$\quad x_2-1=\pm 199$

o

$x_1-1=\pm 199\quad$ y $\quad x_2-1=\pm 1$

Las soluciones $(x_1,x_2)$ de los sistemas de ecuaciones anteriores son : $(2,200)$, $(0,-198)$, $(-198,0)$ y $(200,2)$.

De la primera y cuarta solución obtenemos que $p=-2-200=-202$, $q=2 \cdot 200=400$ y, de la segunda y la tercera obtenemos que $p=198$, $q=0$.

Post-scriptum :

Calendario matemático 2019 - Bajo la dirección de Ana Rechtman, con la contribución de Nicolas Hussenot - Textos : Claire Coiffard-Marre y Ségolen Geffray. 2018, Presses universitaires de Grenoble. Todos los derechos reservados.

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Pour citer cet article :

— «Noviembre 2018, primer desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2018

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