Enunciado

La solución es $\tfrac{1}{4}$.

Se trata de un problema de probabilidad geométrica que se resuelve calculando áreas de regiones del plano. Si se escogen al azar dos números $a$ y $b$ con $0 < a < b < 1$, el espacio de probabilidad es :
$$ \Omega= \{\text{$(a,b)$ del plano tales que $0 < a < b < 1$}\}, $$ es decir, el conjunto de pares $(a,b)$ que se encuentran en el triángulo $\Omega$: Observemos primero que el área de $\Omega$ es $1/4$. Cortando el alambre en los puntos $a$ y $b$, obtenemos tres segmentos, el primero de longitud $a$, el segundo de longitud $b - a$ y el tercero de longitud $1 - b$. Una condición necesaria y suficiente para poder formar el triángulo es que estos tres segmentos satisfagan la desigualdad del triángulo en todas sus posibilidades, es decir: $$ \begin{align} a + (b - a) &\geq (1 - b),\quad \text{o bien, $b\geq 1/2$},\\ a + (1 - b) &\geq (b - a),\quad \text{o bien, $b\leq (2a+1)/2$},\\ (b - a) + (1 - b) &\geq a,\enspace\enspace\enspace\qquad \text{o bien, $a\leq 1/2$.} \end{align} $$ La región $A$ de $\Omega$ que satisface las equaciones $(1)$, $(2)$ y $(3)$ es $$ A = \{(a,b) \text{ en $\Omega$ tal que $a\leq 1/2$, $b\geq 1/2$ y $b\leq (2a+1)/2$}\}. $$ Sobre una gráfica, esto se ve: La región $A$ es un triángulo completamente incluido en el triángulo $\Omega$ y de área $1/8$. Entonces la probabilidad de formar un triángulo con los segmentos $a$, $b - a$ y $1 - b$, es: $$ P(\text{Formar un triángulo}) = \frac{\text{Área de $A$}}{\text{Área de $\Omega$}} = \frac{1/8}{1/2} = \frac{1}{4}. $$