Un desafío por semana

Noviembre 2020, cuarto desafío

Le 27 novembre 2020  - Ecrit par  Ana Rechtman
Le 27 novembre 2020
Article original : Novembre 2020, 4e défi Voir les commentaires
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Proponemos un desafío del Calendario Matemático por semana y su solución a la semana siguiente. ¡El calendario 2020 ya está en librerías (en México) !

Semana 48

Encuentra todos los pares $(x,y)$ de números enteros $x, y$ positivos o nulos que satisfagan la ecuación $x^3y + x + y = xy + 2xy^2$.

Solución del tercer desafío de noviembre :

Enunciado

El área buscada es $42~\mathrm{cm}^2$.

Observemos que los segmentos $AC$ y $AE$ separan el pentágono en tres triángulos. El área buscada es entonces igual al área del pentágono menos las áreas de los triángulos $ACD$ y $ABE$.
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Como $AC$ es la diagonal del cuadrado $ABCD$, el área del triángulo $ACD$ mide $\frac{8\times8}{2} = 32\,\mathrm{cm}^2$. Como el triángulo $BEC$ es isósceles en $E$, el pie de su altura partiendo de $E$, que vamos a denotar por $F$, es el medio del segmento $CB$. Esto implica que $FB = 4\,\mathrm{cm}$ y la altura a partir de $E$ del triángulo $ABE$ mide $4\,\mathrm{cm}$.

Por lo tanto, el triángulo $ABE$, de base $AB = 8\,\mathrm{cm}$ y altura $4\,\mathrm{cm}$, tiene área $\frac{8\times 4}{2} = 16\,\mathrm{cm}^2$. El área del triángulo $ECA$ es entonces igual a $90 - 32 - 16 = 42$ centímetros cuadrados.

Post-scriptum :

Calendario matemático 2020 (versión en español) - Bajo la dirección de Anne Alberro y Radmila Bulajich - 2019, Googol S.A. de C.V. Todos los derechos reservados.

Calendario matemático 2020 (versión francesa) - Bajo la dirección de Ana Rechtman, con la contribución de Nicolas Hussenot - Textos : Serge Abiteboul, Charlotte Truchet. 2019, Presses universitaires de Grenoble. Todos los derechos reservados.

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Pour citer cet article :

— «Noviembre 2020, cuarto desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

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  • GORUFUCERAMIST / SHUTTERSTOCK

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