Nudos Inenderezables

Piste rouge Le 24 janvier 2015  - Ecrit par  Frédéric Le Roux, Patrick Massot
Le 26 mai 2019  - Traduit par  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
Article original : Des Nœuds Indétordables Voir les commentaires
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John Pardon demostró en 2010 que algunos nudos tóricos tienen una distorsión arbitrariamente grande. ¿Nudos tóricos ? ¿Distorsión ? ¡No se asusten ! Para comprender todo, basta con hacerse pasar por un caracol y una libélula...

Distorsión de una curva

Jojo el caracol y Lulú la libélula viven sobre un nudo de trébol, una hermosa curva que dibuja tres pétalos antes de cerrarse sobre sí misma. Para ir de un punto a otro, Jojo se desliza a lo largo de la curva, mientras que Lulú puede volar en línea recta. Su modo de medir las distancias es, por lo tanto, muy diferente.

En el video de arriba, por ejemplo, Lulú tiene sólo 3 cms de trayecto para ir de un punto rojo al otro. Para Jojo, por el contrario, la distancia a lo largo de la curva entre esos dos puntos es igual a 36 cms aproximadamente. Se evalúa su discordancia calculando la relación entre la distancia medida desde el punto de vista de Jojo por un lado, y la distancia medida según el punto de vista de Lulú, por otro lado. Esa relación aquí es igual a 36/3 = 12. En el video se eligió justamente representar los dos puntos de la curva en los cuales su discordancia es máxima : para toda otra elección de dos puntos, la relación de dos medidas de distancia es más cercana a 1. Se dice que el número 12 es la distorsión de la curva sobre la cual viven Jojo y Lulú.

Jojo preferiría vivir sobre una curva en la cual las distancias fueran las mismas a lo largo de la curva o a vuelo de pájaro. Sin embargo, un instante de reflexión le permite convencerse de que eso solo es posible sobre una recta o un segmento. Pero las viviendas en forma de recta son infinitamente más caras, y los segmentos son peligrosos (¡cuando uno llega al extremo se cae !). Sin embargo, debe haber curvas que se cierren sobre sí mismas y cuya distorsión sea menor que 12.

¿Y si vivieran sobre un círculo ? Lo peor ocurriría en dos puntos diametralmente opuestos. Para Lulú esos puntos estarían a una distancia igual al diámetro, mientras que para Jojo su distancia sería igual a la mitad del perímetro ; ya que el perímetro de un círculo es igual a su diámetro multiplicado por el número $\pi$, la relación de las dos distancias medidas vale la mitad de $\pi$. La distorsión del círculo es, por lo tanto, igual a la mitad de $\pi$, o sea alrededor de1,57, ¡lo que es no obstante mucho mejor que en el nudo de trébol !

— Hagámoslo, dice Jojo : un corte con sierra, algunos martillazos y un poco de pegamento, y me comprometo a transformar nuestra residencia ¡en un magnífico círculo !

Distorsión de un nudo

Pero Lulú -que encontró su contrato de alquiler- enfría el entusiasmo del caracol : está estipulado que si bien los trabajos de deformación se autorizan, el uso de la sierra está estrictamente prohibido.

— ¡Qué más da ! Busquemos entre todas las curvas que uno pueda obtener deformando nuestro nudo de trébol sin romperlo, aquella que tiene la menor distorsión.

¡Más fácil de decir que de hacer ! Las pequeñas deformaciones más bien parecen aumentar la distorsión, pero ¿cómo estar seguro de que no hay una deformación inteligente que lleve a una curva menos distorsionada ?

El video de arriba muestra un nudo que se deforma. En cada instante se ha indicado la distorsión del nudo, y se ha coloreado en rojo los dos puntos en los cuales la discordancia entre Lulú y Jojo sería máxima. En este video se aprecian muchas cosas notables. Por ejemplo, las deformaciones pueden cambiar mucho la apariencia de un nudo : ¿reconoció un nudo de trébol deformado al comienzo del video ? Además, se ve que el par de puntos de máxima discordancia puede saltar súbitamente de una región del nudo a otra.

Termina el día y nuestros amigos se duermen sin haber resuelto su problema. Cuando Jojo se despierta en medio de la noche lanzando un grito, Lulú se pregunta si acaso él soñó que se caía de un segmento.

— ¡No, fue algo mucho más horrible ! Me despertaba en la mañana ¡¡y nuestro nudo de trébol está aún más anudado que la noche anterior !!

— ¿Cómo es eso que aún más anudado ?

— Como en este dibujo, mira...

— Me acuerdo de esta casa, yo la encontraba bonita pero tú no mucho... En el catálogo la llamaban un ’’nudo tórico (3, 4)’’. Como puedes ver en la animación de abajo, se la puede dibujar sobre una boya. La curva da tres vueltas alrededor de la boya, y se enrrolla cuatro veces en torno a la sección ; los matemáticos llaman a la boya un ’’toro’’, y dicen que la curva da ’’tres vueltas en una dirección y cuatro en la otra’’. Además, también había residencias modernas en forma de nudos tóricos (4, 5), e incluso algunos (5, 6) en construcción, creo...

— ¡Acabas de darme un montón de material para mis futuras pesadillas !

Los nudos tóricos (4, 5), (5, 6), (6, 7).

Mientras Lulú vuelve a dormirse, Jojo -atormentado por el espectro de una vivienda más distorsionada que su nudo de trébol- no puede pegar ojo. Se imagina cada mañana, al despertar, que descubre su residencia más anudada aún que en la víspera, pasando del nudo de trébol al nudo tórico (3, 4), luego al (4, 5), (5, 6), y así sucesivamente... Cada día se pregunta si es posible disminuir la distorsión de su nueva residencia deformándola, pero no encuentra respuesta, ¡y la distorsión crece inexorablemente !

Al día siguiente, Lulú decide ayudar a Jojo a liberarse de sus angustias. Para eso, desearía aprender lo que los matemáticos saben acerca de la distorsión de esas curvas. Lulú conoce bien el sitio Paisajes Matemáticos ; en medio de un texto un poco extraño, cae justo sobre las explicaciones que buscaba :

¿Qué se sabe de la distorsión ?

Hay que reconocerlo : los matemáticos tienen problemas para obtener resultados exactos acerca de la distorsión de los nudos. Sin embargo, aquí hay algunas certezas y algunas preguntas.

El círculo es la curva menos distorsionada (aquí y en la continuación, nos restringimos a las curvas que se cierran sobre sí mismas, como un círculo o un nudo de trébol, que se llaman curvas cerradas). Esta es otra forma de decir lo mismo : tome una curva cualquiera que no sea un círculo, y entonces va a poder encontrar dos puntos sobre esta curva en los cuales la relación de las distancias
\[ \frac{\mbox{distancia a lo largo de la curva}}{\mbox{distancia a vuelo de libélula}} \]
es estrictamente mayor que la mitad de $\pi$, es decir alrededor de 1.57. Este resultado de Mikhail Gromov apareció en un libro publicado en 1981. La demostración es astuta, pero accesible para los estudiantes de primer año de universidad. [1]

Si una curva está anudada, es decir, si no es posible deformarla en un círculo sin cortarla, entonces su distorsión es al menos igual a
\[ \frac{5}{3}\pi \simeq 5.23... \]
Este resultado fue demostrado por Elizabeth Denne y John M. Sullivan en 2009.

Entre las curvas que se puede obtener deformando el nudo de trébol, ¿cuál es la que está menos distorsionada ? Esta es una pregunta difícil, y hasta donde sabemos no está resuelta. Para responderla habría que controlar la distorsión de todas las deformaciones posibles de nuestro nudo. Una de las dificultades proviene del hecho de que no se tiene ninguna información a priori acerca de la geometría de la curva que estaría menos distorsionada ; puede ser que su apariencia en pequeña escala sea muy complicada. [2]

Por las mismas razones, la pregunta siguiente planteada por Mikhail Gromov en un artículo de 1983, es difícil :

Pregunta : ¿Se puede deformar una curva cerrada cualquiera en una curva cerrada cuya distorsión es inferior a 100 ?

O, al revés, ¿existe una curva cuya distorsión sea mayor que 100, y que se mantenga mayor que 100 cuando se la deforme ?

Para los matemáticos, la pregunta de Gromov es irritante y desconcertante. Es suficientemente simple de plantear como para dar la ilusión de que uno va a poder responderla con facilidad. Pero no se sabe por dónde tomarla, porque no se deja encerrar en una teoría bien definida. Explorar todas las deformaciones de una curva dada es el campo de la topología, el estudio de las formas ’’blandas’’, las matemáticas de la goma, de alguna manera. Pero para cada una de las curvas deformadas es necesario estimar la distorsión, que es una magnitud geométrica, es decir, que pone en juego las distancias entre los puntos de la curva. La pregunta mezcla geometría y topología, se escapa de las teorías existentes, y su resolución va a exigir una buena dosis de astucia e imaginación... ¡y un poco de tiempo !

Los nudos muy distorsionados de John Pardon

Después de haber resistido durante casi treinta años, la pregunta de Gromov fue resuelta por John Pardon en un artículo que apareció en línea en 2010 y publicado en 2011 [3]. En este artículo, Pardon demuestra en particular que si se dibuja sobre la superficie de una boya un nudo que da ’’16000 vueltas (!!) en un sentido y 16001 vueltas en el otro sentido’’, no se podrá jamás deformarlo para obtener una distorsión inferior a 100. Más generalmente, la curva obtenida tendrá siempre una distorsión superior a p/160, donde p es el número de vueltas. Es necesario ver esta estimación como un resultado ’’asintótico’’ : sobre el nudo de trébol, que no es otra cosa que el nudo tórico (2,3), la estimación de John Pardon es de 1/80, lo que no aporta ninguna información ya que la distorsión de una curva cualquiera es superior a uno. En cambio, cuando el número de vueltas p es mayor, la estimación es más interesante. Más allá de la respuesta a la pregunta de Gromov (y de su número ’’100’’ un tanto provocador), este artículo nos enseña que existen nudos cuya distorsión es tan grande como se quiera.

John Pardon

Por esos resultados John Pardon fue recompensado con el premio Morgan, otorgado por la American Mathematical Society ’’for outstanding research in mathematics by an undergraduate student’’ (investigación matemática excepcional hecha por un estudiante de pregrado). El artículo de John Pardon está lejos de agotar el tema : como él mismo lo dijo, es muy plausible que la distorsión de los nudos tóricos (2,q) -que dan por lo tanto muchas vueltas en un sentido y solamente dos en el otro- se vuelva arbitrariamente grande cuando q es muy grande (aquí abajo, un nudo tórico (2,15)). Pero esto sigue por demostrarse... ¡Aviso para los aficionados !

Los lectores interesados podrán encontrar dos ingredientes de la demostración de John Pardon en el bloque desplegable que sigue.

Dos ingredientes de demostración

Partiendo de un nudo tórico (digamos (3,4) para las ilustraciones), se quiere demostrar que ninguna deformación de ese nudo puede reducir la distorsión por debajo de un cierto umbral explícito. Se nota primero que una tal deformación se acompaña por una deformación del toro sobre el cual se sitúa el nudo, como en la figura de enfrente.

Por lo tanto, se busca datos sobre esta situación que sobreviven a las deformaciones : se trata de hacer topología.

Primer ingrediente : Topología

Las dos imágenes siguientes muestran dos discos. El primero, en azul, está situado completamente en el exterior del toro. El segundo, en rojo, está completamente en el interior. Cada uno de los dos está bordeado por un círculo trazado sobre la superficie del toro, y que se encuentra con nuestro nudo tórico, dibujado en verde, en 4 puntos para el primero y en 3 puntos para el segundo. Imaginemos ahora que se deforma el disco azul en el exterior del toro, permitiendo que su borde se deslice por la superficie del toro, que se mantiene inmóvil. Entonces el borde del disco deformado no podrá encontrarse nunca con menos de 4 puntos de nuestra curva verde. La animación que sigue muestra el borde de un disco azul deformado que se encuentra con nuestro nudo tórico en 6 puntos, con el disco apareciendo progresivamente.

Por otra parte, el número de puntos de intersección entre un tal disco azul y la curva verde no cambia evidentemente cuando se hace experimentar una deformación al conjunto del dibujo : se trata de un ’’invariante topológico’’. Las mismas consideraciones son válidas para las deformaciones del disco rojo.

Segundo ingrediente : Geometría

El principal ingrediente geométrico es un límite inferior sobre la longitud de una curva dada. Elijamos un punto del espacio y consideremos la esfera de radio $R$ alrededor de ese punto (cuidado, la esfera es la superficie de la bola, y se trata de los puntos cuya distancia al centro es exactamente $R$, y no de los puntos que están a distancia inferior o igual a $R$). Esta esfera encuentra nuestra curva en un cierto número de puntos, y llamaremos a ese número $N(R)$. Hagamos ahora la media de todos los números $N(R)$ cuando $R$ varía entre $0$y una longitud establecida $R_0$. Se obtiene de ese modo un número $N$ que se puede llamar ’’media de los números de intersecciones de la curva con las esferas’’. Entonces la porción de curva que está en la bola de radio $R_0$ tiene una longitud al menos igual al producto $N \times R_0$.

En el caso más simple, por ejemplo, nuestra curva sería un segmento procedente del centro y de longitud $R_0$. En ese caso, cada esfera de radio $R$ encuentra el segmento en un solo punto, el número promedio vale entonces $N=1$, y el producto $N \times R_0$ vale $R_0$, que es exactamente la longitud de nuestro radio.

Expliquemos por qué la longitud es al menos $N \times R_0$.
Los matemáticos definen la media con ayuda del concepto de integral. Nuestro límite inferior se escribe entonces, de manera muy condensada,

\[ \mathrm{Largo}(\gamma \cap B(0,R_0)) \geq \int_0^{R_0} \mathrm{Card}(\gamma \cap S(0,R)) dR \]
donde B(0,R) y S(0,R) designan respectivamente la bola y la esfera de radio $R$. Esta estimación forma parte de lo que se llama la geometría integral.

Examinemos por qué esta fórmula es verdadera en el plano (para simplificar los dibujos). La figura de enfrente muestra una curva en un gran disco de centro O. Se ha dibujado todos los círculos de centro O que tienen un punto de tangencia con la curva.

Esos círculos recortan el disco que contiene la curva en un pequeño disco y tres anillos concéntricos, y ellos recortan también la curva en ocho pedazos. Hay por ejemplo dos pedazos de curvas que se unen al círculo de radio $r_1$ en el círculo de radio $r_2$ ; como el medio más corto de unir esos dos círculos es recorrer un segmento de longitud $r_2-r_1$, cada uno de esos dos pedazos tiene una longitud al menos igual a $r_2-r_1$ y de ese modo la porción de la curva en este anillo tiene una longitud al menos igual a $2\times (r_2-r_1)$. De la misma manera, la porción entre los círculos de radio $r_2$ y $r_3$, que está hecha de cuatro pedazos, tiene una longitud igual al menos a $4\times (r_3-r_2)$ y la que está situada en el último anillo tiene una longitud al menos igual a $2\times (r_4-r_3)$. Al pegar todos los pedazos se ve que la longitud total de nuestra curva es al menos
\[ 2\times (r_2-r_1) + 4\times (r_3-r_2) + 2\times (r_4-r_3), \]
que es exactamente el número medio de intersecciones calculado por la integral de arriba.

¡Mezclemos los dos ingredientes !

Un anillo, como el del planeta Saturno, puede ser dibujado sobre un plano. Un cilindro puede ser deformado en un anillo, y es por eso que un topólogo lo calificará también como ’’planar’’. En cambio el toro, es decir la superficie de una boya, no es un conjunto planar. Cuando se hace un cierto número de (pequeños) agujeros en un toro, se obtiene un toro agujereado que no siempre puede ser deformado sobre una porción de plano : no es planar. Pero si uno recorta el toro a lo largo de un círculo que le da la vuelta, se obtiene un cilindro torcido, que es planar.

Consideremos ahora un toro deformado, deformado pero inmóvil. Tomemos una bola que lo contiene y miremos lo que ocurre cuando se disminuye el radio de la bola y se suprime los pedazos del toro que se encuentran en el exterior de la bola.
Uno se encuentra primero con un toro agujereado ; luego un cierto número de pedazos planares pueden formarse (vea la animación).
Sigamos disminuyendo el radio de nuestra bola. En un momento el toro agujereado desaparece y uno se encuentra solamente con los conjuntos planares.

Con ayuda de los dos ingredientes de arriba y de mucha astucia, John Pardon muestra que una distorsión más pequeña que p/160 para una deformación dada cualquiera del nudo tórico (p,p+1) implicaría la existencia de bolas arbitariamente pequeñas, en las cuales la intersección con el toro deformado contendría una componente no planar, lo que no es posible. De ese modo la distorsión es controlada.

Epílogo

— Uauh.

— Uauh.

— Uauh, sí Lulú. Es magnífico.

— Entonces, Jojo, cuando tú decías que querías una residencia menos distorsionada… tú no pensabas que se podría encontrar una sin la mínima distorsión, ¿no ?

— Ah, ¡eso no !

— Tu libélula, ¿lo aseguró o no ?

— Lo aseguró. El agente inmobiliario estaba impresionado cuando le dijiste que queríamos vivir en una geodésica cerrada en un espacio no euclidiano…

— ¡Y eso es ! ¡Un gran círculo de la esfera $\mathbb{S}^3$ para nosotros solos !

— Entre dos puntos cualesquiera, el camino más corto es a lo largo de nuestro círculo. Tu distancia, libélula, es exactamente la misma que la mía, caracol. Para ir a un punto opuesto tú estás llena de posibilidades, mientras que yo no tengo más que uno, pero todos tus caminos tienen la misma longitud…

— ¡Distorsión igual a uno !

— ¡Se terminaron las pesadillas ! En esta vivienda de ensueño, nuestra pareja seguramente va a mantener la distancia…

Post-scriptum :

Los autores y la redacción de Images des Maths agradecen a los relectores Clément Caubel y Jean Lefort por su atenta relectura y sus comentarios juiciosos y benévolos.

Todas las imágenes y animaciones han sido creadas con el programa computacional libre Blender.

Article original édité par Frédéric Le Roux

Notes

[1Por lo demás está aquí, redactada en forma de ejercicio :

PDF - 89.1 ko

[2En realidad la pregunta está mal planteada, porque uno ni siquiera sabe si hay una curva lo menos distorsionada entre aquellas obtenidas al deformar el nudo de trébol. Para comprender por qué podría ser que no haya una curva lo menos distorsionada, consideremos por un instante este otro problema : entre todas las curvas que se cierran sobre sí mismas, ¿cuál es la más recta ? Una curva completamente recta es una recta, no es una curva cerrada. Por otro lado, un círculo de radio muy grande es casi recto (pero no completamente). Nuestro nuevo problema entonces no tiene solución exacta, aunque tiene soluciones aproximadas. Igual fenómeno podría producirse para el problema de la curva menos distorsionada.

[3La versión en línea se encuentra en el servidor de prepublicaciones Arxiv.

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Pour citer cet article :

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «Nudos Inenderezables» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

Crédits image :

Image à la une - Otras imágenes : Frédéric Le Roux y Patrick Massot.
Todas las imágenes y animaciones han sido creadas con el programa computacional libre Blender.
John Pardon - Avec l’aimable autorisation de John Pardon

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