Asociaedro

Hors piste Le 4 mars 2010  - Ecrit par  Jean-Louis Loday
Le 5 juin 2019  - Traduit par  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
Article original : Associaèdre Voir les commentaires
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Los asociaedros son objetos geométricos que codifican las diversas maneras de colocar los paréntesis y generalizan, en cualquier dimensión, el pentágono.

En 2005, el Centre International de Rencontres Mathématiques de Luminy de Marsella, Francia, envió sus saludos con la tarjeta que está abajo.

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La ilustración elegida por Robert Coquereaux, director del CIRM en aquella época, estaba totalmente adaptada para el año 5 del nuevo milenio, pues este poliedro lleva varios pentágonos entre sus caras.

Pero interesémonos primero en los polígonos y los poliedros más simples, como el triángulo y el tetraedro :

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Ellos forman parte de una familia infinita de ’’polítopos’’ (los análogos de los polígonos y poliedros en dimensiones superiores) llamados símplices estándar. El $n$-símplice estándar ${\mathcal{T}}^{n}$ puede ser descrito de la siguiente manera. Consideremos los $n+1$ puntos del espacio de dimensión $n+1$ cuyas coordenadas son de la forma $(0, \ldots , 0,1,0, \ldots , 0)$ ; más exactamente, se pide que cada coordenada sea nula, salvo una que es igual a $1$. Esos puntos pertenecen a un mismo hiperplano, cuya ecuación es $x_1+x_2+...+x_{n+1}=1.$ Por ejemplo, cuando $n=2,$ los tres puntos son $(1,0,0),$ $(0,1,0)$ y $(0,0,1),$ y están todos situados sobre el plano formado por los puntos $(x_1,x_2,x_3)$ que satisfacen $x_1+x_2+x_3=1.$
Estos puntos son los vértices del símplice estándar ${\mathcal{T}}^{n}$,
la cual es la envoltura convexa de sus $n+1$ vértices. Para obtener una descripción agradable de las coordenadas de los vértices de ${\mathcal{T}}^{n},$ nos ha hecho falta, por lo tanto, representar ese politopo en dimensión $n+1$ en lugar de $n.$

Del mismo modo, el cuadrado y el cubo

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son el polígono y el poliedro de una familia infinita de politopos : los hipercubos. Los $2^{n}$ vértices del hipercubo de dimensión $n$ son los puntos $(x_{1}, \ldots , x_{n})$ de ${\mathbf{R}}^{n}$ para los cuales cada coordenada $x_{i}$ vale $0$ o $1$.

Si se parte de un hexágono, la familia infinita es menos conocida, pero también fácil de construir :

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Son los permutoedros. Hay un vértice para cada permutación del conjunto $\{1,2, \ldots , n\}$. De hecho, las coordenadas del punto de ${\mathbf{R}}^{n}$ asociadas a una permutación están justamente dadas por la permutación de $(1,2, \ldots , n)$. El número de permutaciones, y por lo tanto de vértices, es igual a
\[ n!=1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots n, \]
el producto de los $n$ primeros naturales. Por ejemplo, cuando $n=4,$ la permutación que reacomoda $(1,2,3,4)$ en $(2,3,1,4)$ corresponde al vértice de coordenadas $(2,3,1,4)$. Hay $24$ vértices en total, los cuales están evidentemente en el hiperplano de ecuación
\[ x_{1}+ \cdots + x_{n}= \frac{n(n+1)}{2} \]
y su envoltura convexa es el permutoedro ${\mathcal{P}}^{n-1}$ de dimensión $n-1$. Nuevamente, las coordenadas de los vértices son más fáciles de describir agregando una dimensión.
Así, el polítopo de dimensión $2$ es el hexágono regular pero visto en el espacio, con sus seis vértices $(1,2,3),$ $(2,3,1),$ $(3,2,1),$ $(2,1,3),$ $(3,2,1)$ y $(1,3,2),$ que están todos situados en el plano $x_1+x_2+x_3=6.$
El permutoedro tridimensional de arriba era ya conocido por Albrecht Dürer (1471—1528) [1]. También es conocido bajo el nombre de polítopo de Birkhoff.

Pero, ¿qué pasa con el pentágono ? ; ¿tiene un análogo en dimensión 3 ? ; ¿pertenece a una familia infinita ? El poliedro de la tarjeta de saludos es precisamente el politopo de dimensión 3 que permite comenzar una familia infinita :

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Es la familia de los asociaedros. Su historia comienza en 1962 cuando Jim Stasheff, un matemático estadounidense, construyó a partir de la colocación de paréntesis en una palabra con $n+1$ letras, un cierto espacio topológico de dimensión $n-1$ que le permitió resolver importantes problemas en topología algebraica. En 1979 se pudo percibir que es posible construir esos espacios como envolturas convexas de puntos (polítopos), pero no fue sino en 2002 que una construcción explícita y simple apareció.

Los vértices del asociaedro están en biyección con la colocación de paréntesis de una palabra de $n+1$ letras. Por ejemplo, para $n=2$ hay dos formas posibles de colocar paréntesis :
\[(({\color{blue}x}{\color{red}x}){\color{green}x})\quad \textrm{y}\quad ({\color{blue}x}({\color{red}x}{\color{green}x})).\]
Para $n=3$ hay cinco maneras :
\[((({\color{blue}x}{\color{red}x}){\color{green}x}){x}),\quad ((({\color{blue}x}({\color{red}x}{\color{green}x})){x}), \quad(({\color{blue}x}{\color{red}x})({\color{green}x}{x})), \quad({\color{blue}x}(({\color{red}x}{\color{green}x}){x})), \quad ({\color{blue}x}({\color{red}x}({\color{green}x}{ x}))).\]
En nuestro caso, es más visual reemplazar la colocación de paréntesis por árboles binarios planares enraizados (diremos simplemente ’’árbol’’) :

Aquí hemos representado dos árboles con $3$ hojas y cinco árboles con
$4$ hojas, que codifican las colocaciones de paréntesis listadas anteriormente.
Para construir el asociaedro se va a asociar a todo árbol $t$ con $n$ vértices internos (por lo tanto con $n+1$ hojas) un punto $M(t)$ de ${\mathbf{R}}^{n}$. Sus coordenadas explícitas son las siguientes :
\[ M(t) := (a_{1}b_{1}, \ldots , a_{n}b_{n})\]
donde los naturales $a_{i}$ y $b_{i}$ están determinados como sigue. Primero se enumera las hojas de 1 a n+1 de izquierda a derecha y el vértice. Luego se enumera los vértices internos de $1$ a $n$, de modo que el vértice interno número $i$ es el correspondiente al hueco donde aterriza una bola que se lanzaría por encima del árbol entre las hojas números $i$ e $i+1$. El vértice número $i$ posee una rama izquierda y una rama derecha. Sobre su rama izquierda hay $a_{i}$ hojas, y sobre su rama derecha hay $b_{i}$ hojas. Esta receta (se dice más bien ’’algoritmo’’) define los naturales $a_{i}$ y $b_{i}$. El producto $a_{i}b_{i}$ es la $i$-ésima coordenada del punto $M(t)$. Cuando $t$ recorre los árboles con $n+1$ hojas, se obtiene una cantidad de puntos de ${\mathbf{R}}^{n}$ igual a
\[ c(n)=\frac{(2n)!}{n!(n+1)!}, \]
donde se ha utilizado la notación $n!$ definida más arriba. Estos números $c(n)$ son bien conocidos por los matemáticos profesionales : son los famosos números de Catalan [2]. Se tiene por lo tanto $c(1)= 1, c(2)=2, c(3)= 5, c(4)= 14$. Aunque no sea inmediatamente perceptible, estos puntos pertenecen a un mismo hiperplano, ya que la suma de sus coordenadas es constante (la demostración es fácil por inducción) :
\[a_{1}b_{1}+ \cdots + a_{n}b_{n}= \frac{n(n+1)}{2}.\]
Se demuestra [3] que la envoltura convexa de los puntos $M(t)$ es el politopo de Stasheff ${\mathcal{K}}^{n-1}$ de dimensión $n-1$, llamado también asociaedro.

Aquí está ${\mathcal{K}}^{2}$ y sus coordenadas en ${\mathbf{R}}^{3}$ :

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Se aprecia que no es el pentágono regular, pero que -por el contrario- contiene el hexágono regular.

Aquí está ${\mathcal{K}}^{3}$ y sus coordenadas en ${\mathbf{R}}^{4}$ :

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Hay que decir que algunas de las coordenadas de ${\mathcal{K}}^{3}$ son permutaciones de $1234$. Este comentario es la huella del hecho siguiente, ya mencionado para la dimensión $2$ : el permutoedro está contenido en el asociaedro, tal como se aprecia en la fotografía siguiente.

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De hecho, se trata de un resultado general válido para todo natural $n$.

Mirado como un ovni en el mundo matemático durante su aparición en los años 1960, el asociaedro llegó a ser un objeto inevitable en numerosos problemas : en topología algebraica (espacios de lazos, álgebras módulo homotopías), en álgebra (álgebras $A_{\infty}$, álgebras amasadas, grupos de Thompson, compactificación de espacios de módulos), en física teórica (álgebras dendriformes, renormalización), en informática teórica (fonctions parking). Sin embargo, esto no es tan sorprendente, ya que toca una noción fundamental en matemáticas : la asociatividad. Más precisamente, mide el defecto de asociatividad de ciertas estructuras. Usted encontrará en este enlace la pequeña historia del descubrimiento mencionado más arriba, así como el vínculo con el artista-matemático Albrecht Dürer.

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Article original édité par Serge Cantat

Notes

[1Vea el artículo ’’Cómo encontré el asociaedro’’ en la página web del autor, o directamente el grabado Melancholia

[2Vea esta página de Wikipedia

[3Vea el artículo siguiente : J.-L. Loday, Realization of the Stasheff polytope. Arch. Math. (Basel) 83 (2004), no. 3, 267—278.

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Pour citer cet article :

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «Asociaedro» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

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