Conjuntos fractales deterministas bidimensionales

Desde hace numerosos años, los conjuntos fractales deterministas [1] bidimensionales son bien conocidos ya que presentan magníficas y misteriosas estructuras en todas las escalas. Todos esos conjuntos son obtenidos iterando funciones $f$ (a priori cualesquiera), es decir, calculando secuencias del tipo :
\[z_{n+1}=f(z_n)\]
en cada punto (llamado punto corriente $C$) de un campo del plano complejo, y esto a partir de un valor $z_0$ dado [2]. Gracias al ejemplo de los conjuntos de Julia $J_A$, precisaremos lo que esto significa en las líneas siguientes.

La mayoría de las veces, las funciones $f$ son polinomios de segundo grado que, en particular, dan nacimiento, por una parte, al conjunto de Mandelbrot $M$ que figura abajo y a la izquierda de ese acercamiento :

\[z_0=C\]
\[z_{n+1}=z_n^2+C.\]

y por otra parte, a los conjuntos de Julia $J_A$ (donde $A$ designa un punto Argumento parametrando $J_A$) del cual aquí hay dieciséis ejemplares :

\[z_0=C\]
\[z_{n+1}=z_n^2+A.\]

Expliquemos en este caso particular lo que significa concretamente iterar. En cada punto $C$ del campo elegido (en general rectangular) del plano complejo, se observa cómo evoluciona la secuencia de puntos :
\[z_0=C\]
\[z_1=z_0^2+A=C^2+A\]
\[z_2=z_1^2+A=(C^2+A)^2+A\]
\[z_3=z_2^2+A=((C^2+A)^2+A)^2+A\]
\[z_4=z_3^2+A=(((C^2+A)^2+A)^2+A)^2+A\]
\[etc\]
Se encuentran entonces dos posibilidades : o bien esta secuencia de puntos se aleja indefinidamente (y sin regreso posible), o bien se queda en una vecindad del origen y se dice entonces que el punto $C$ pertenece al conjunto de Julia $J_A$. Se notará que, por razones materiales evidentes, el número de iteraciones efectuables en cada punto $C$ está limitado, y cuando se llega a su máximo (establecido arbitrariamente en 1000, por ejemplo), la pertenencia también es decretada.

No importa qué función $f$ pueda ser utilizada. los polinomios del segundo grado ya son muy instructivos, incluso siendo los más simples El artículo de Tan Lei presenta un ejemplo así, con el método de Newton de resolución de las ecuaciones.

Pero ¿cómo transformar esas iteraciones en imágenes ? En general, el color de cada punto $C$ es elegido en función del número de iteraciones $n+1$ efectuadas (el caso de los dieciséis conjuntos de Julia anteriores) o incluso del argumento [3] del último $z_{n+1}$ calculado (el caso del conjunto de Mandelbrot de arriba). Una visualización tridimensional puede ser realizada también utilizando, por ejemplo, el número de iteraciones $n+1$ como una tercera dimensión :

Conjuntos fractales deterministas cuatridimensionales

Los números reales pueden ser considerados como las ’’etiquetas’’ de los puntos de la recta, y los números complejos como las de los puntos del plano. Durante numerosos años, los matemáticos buscaron nuevos números que pudieran ’’etiquetar’’ los puntos del espacio tridimensional : su búsqueda no fructificó a causa de la imposibilidad de definir de manera coherente sus productos. William Hamilton descubrió en 1843 que esto podía hacerse ’’saltando’’ a la cuarta dimensión : los cuaterniones habían nacido y fueron definidos como parejas de números complejos, es decir también como cuadrupletes de números reales.

Con el fin de generalizar al espacio las magníficas y misteriosas estructuras de los conjuntos fractales del plano complejo, para todos quienes trabajaron (me incluyo) en ese tema fue una idea natural, por lo tanto, utilizar los cuaterniones, ya que ellos mismos generalizaban los números complejos.

En efecto eso se hizo, pero los resultados por desgracia fueron relativamente decepcionantes : por ejemplo, una sección tridimensional dentro del conjunto de Maldelbrot en los cuaterniones

muestra una fuerte simetría de rotación y no presenta ninguna estructura realmente tridimensional en todos los niveles, como lo revela este acercamiento :

’’Verdaderos’’ conjuntos fractales deterministas cuatridimensionales

Recordemos las aritméticas de los números complejos. La adición (+) de dos números complejos $(x_1,y_1)$ y $(x_2,y_2)$ está definida por
\[(x_1,y_1)+(x_2,y_2) = (x_1+x_2,y_1+y_2).\]
La multiplicación ($\times$) es un poco más complicada :
\[(x_1,y_1) \times (x_2,y_2) = (x_1 x_2-y_1 y_2,x_1 y_2+x_2 y_1).\]
Pero si las coordenadas polares $(\rho_i,\theta_i)$ son utilizadas en lugar de las coordenadas cartesianas $(x_i,y_i)$, esto se vuelve entonces más simple :
\[(\rho_1,\theta_1) \times (\rho_2,\theta_2)=(\rho_1 \rho_2,\theta_1+\theta_2)\]
con :
\[x_i=\rho_i\cos(\theta_i)\]
\[y_i=\rho_i\sin(\theta_i)\]
En particular, el cuadrado de un número complejo vale :
\[(\rho,\theta)^2=(\rho^2,2\theta).\]

Durante los años anteriores, Daniel White tuvo la excelente idea de extender este proceso al espacio tridimensional. Tripletes de números reales $(x_i,y_i,z_i)$ son entonces definidos, así como su adición y su multiplicación de la siguiente manera :
\[(x_1,y_1,z_1)+(x_2,y_2,z_2)=(x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2)\]

\[(\rho_1,\theta_1,\phi_1) \times (\rho_2,\theta_2,\phi_2)=(\rho_1 \rho_2 ,\theta_1+\theta_2 ,\phi_1+\phi_2)\]

con :

\[x_i=\rho_i\cos(\phi_i)\sin(\theta_i)\]
\[y_i=\rho_i\sin(\phi_i)\sin(\theta_i)\]
\[z_i=\rho_i\cos(\theta_i)\]

($(\rho_i,\theta_i,\phi_i)$ son llamadas las coordenadas esféricas del punto $(x_i,y_i,z_i)$).

La potencia n-ésima de un tal triplete vale entonces :

\[(\rho,\theta,\phi)^n=(\rho^n,n\theta,n\phi),\]

fórmula que está en la base de la mayoría de las imágenes obtenidas entonces.

El lector podrá consultar con el mayor interés el artículo de Jos Leys que presenta a la vez una visión histórica de esta búsqueda, algunas técnicas de visualización empleadas, así como magníficas y espectaculares imágenes.

Yo trasladé esta idea a un espacio en cuatro dimensiones por las siguientes razones :

• Todo lo que había hecho anteriormente para los cuaterniones podía ser reutilizado de inmediato (en especial, la posibilidad de iterar funciones cualesquiera) ; bastaba simplemente con introducir la definición de una nueva multiplicación y agregar un indicador que permitiera a esta última reemplazar la multiplicación usual durante los cálculos.
• Un espacio de cuatro dimensiones incluye evidentemente espacios en dos y tres dimensiones.
• Finalmente, esto abre puertas relativas a la ’’metamorfosis’’ de esos objetos. Para comprender esto con facilidad basta con regresar al espacio tridimensional . En éste, es posible hacer cortes planos en un objeto cualquiera, por ejemplo, un clindro. Siguiendo la orientación del plano, el corte se metamorfoseará : un círculo, una elipse o incluso un rectángulo... Esto será ilustrado a continuación con ayuda de dos conjuntos de Julia.

Esta nueva multiplicación (llamada simplemente multiplicación en las siguientes líneas) está definida por :
\[(\rho_1,\theta_1,\phi_1,\alpha_1) \times (\rho_2,\theta_2,\phi_2,\alpha_2) = (f_{\rho}(\rho_1,\rho_2),f_{\theta}(\theta_1,\theta_2),f_{\phi}(\phi_1,\phi_2),f_{\alpha}(\alpha_1,\alpha_2))\]

con :
\[x_i=\rho_i\cos(\phi_i)\sin(\theta_i)\sin(\alpha_i)\]
\[y_i=\rho_i\sin(\phi_i)\sin(\theta_i)\sin(\alpha_i)\]
\[z_i=\rho_i\cos(\theta_i)\sin(\alpha_i)\]
\[t_i=\rho_i\cos(\alpha_i)\]

($(\rho_i,\theta_i,\phi_i,\alpha_i)$ serán llamadas las coordenadas hiperesféricas del punto $(x_i,y_i,z_i,t_i)$).
Las cuatro funciones arbitrarias $f_{\rho}$, $f_{\theta}$, $f_{\phi}$ y $f_{\alpha}$ están definidas por defecto con :

\[f_{\rho}(\rho_1,\rho_2)=\rho_1 \rho_2\]
\[f_{\theta}(\theta_1,\theta_2)=\theta_1 + \theta_2\]
\[f_{\phi}(\phi_1,\phi_2)=\phi_1 + \phi_2\]
\[f_{\alpha}(\alpha_1,\alpha_2)=\alpha_1 + \alpha_2\]
con el fin de ser compatibles con la multiplicación en el plano complejo, así como con los resultados de Daniel White.

Entonces, con esas definiciones, la multiplicación es el proceso primario y fundamental, aunque la elevación a una potencia entera de un número (por ejemplo, el cálculo de su cuadrado o de su cubo) es sólo un proceso secundario, ya que es resultado de muchas multiplicaciones sucesivas
 [4]. El interés de privilegiar de este modo la multiplicación en relación a la elevación a una potencia entera reside en el hecho de que así es posible generar objetos que se basen en la iteración de funciones más generales que los polinomios de tipo $q^n+constante$ [5].

Aquí hay cuatro ejemplos ($q$ designa al cuaternión $(x,y,z,t)$=$(\rho,\theta,\phi,\alpha)$) sin olvidar que se trata de objetos cuatridimensionales y por lo tanto no representables en su integralidad. Serán visualizadas, por lo tanto, secciones tridimensionales (obtenidas, por ejemplo, considerando la cuarta coordenada $t$ constante).

Este conjunto de Mandelbrot ha sido calculado utilizando un polinomio $P(q)$ del segundo grado (limitando el cálculo a $t=0.1$) y las cuatro funciones siguientes :
\[P(q)=q^2+q_C\]
\[f_{\rho}(\rho_1,\rho_2)=\rho_1 \rho_2\]
\[f_{\theta}(\theta_1,\theta_2)=2(\theta_1 + \theta_2) + \pi \]
\[f_{\phi}(\phi_1,\phi_2)=2(\phi_1 + \phi_2) + \pi \]
\[f_{\alpha}(\alpha_1,\alpha_2)=\alpha_1 + \alpha_2.\]

Su vista desde arriba se parece a un copo de nieve con $5$ ramas. Fue calculado por lo tanto con ayuda de un polinomio del segundo grado. Para polinomios de tercer, cuarto, quinto y sexto grados, los números de ramas son respectivamente $13 \ (=5\times 2+3)$, $29 \ (=13\times 2+3)$, $61 \ (=29\times 2+3)$ y $125 \ (=61\times 2+3)$ que presentan así una muy curiosa relación de recurrencia.

Este conjunto de Mandelbrot ha sido calculado utilizando un polinomio $P(q)$ de primer grado (limitando el cálculo a $t=0$) y las cuatro funciones siguientes :
\[P(q)=1 q+q_C\]
\[f_{\rho}(\rho_1,\rho_2)=(\rho_1 \rho_2)^8\]
\[f_{\theta}(\theta_1,\theta_2)=8(\theta_1 + \theta_2)\]
\[f_{\phi}(\phi_1,\phi_2)=8(\phi_1 + \phi_2)\]
\[f_{\alpha}(\alpha_1,\alpha_2)=8(\alpha_1 + \alpha_2)\]

(el término $1q$ está destinado a forzar una multiplicación).
Se trata del famoso Mandelbulb de Daniel White y de Paul Nylander. Contiene en particular estructuras del todo misteriosas e irregulares que recuerdan numerosas formas naturales :

Este conjunto de Mandelbrot (’’la ronda infantil’’) es el mismo que el anterior, pero limitando esta vez el cálculo a $t=0.7$

Este conjunto de Julia ha sido calculado utilizando un polinomio $P(q)$ de primer grado (limitando el cálculo a $t=0$) y las cuatro funciones siguientes :
\[P(q)=1 q+\{-0.5815147625160462,+0.6358885017421603,0,0\}\]
\[f_{\rho}(\rho_1,\rho_2)=(\rho_1 \rho_2)^3\]
\[f_{\theta}(\theta_1,\theta_2)=3(\theta_1 + \theta_2)\]
\[f_{\phi}(\phi_1,\phi_2)=3(\phi_1 + \phi_2)\]
\[f_{\alpha}(\alpha_1,\alpha_2)=\alpha_1 + \alpha_2.\]

Estas dieciséis imágenes presentan una primera metamorfosis hecha de dieciséis secciones tridimensionales diferentes (obtenidas por rotaciones en el espacio cuadridimensional) de un conjunto de Julia calculado utilizando un polinomio $P(q)$ de primer grado y las cuatro funciones siguientes :
\[P(q)=1 q+\{-0.5815147625160462,+0.6358885017421603,0,0\}\]
\[f_{\rho}(\rho_1,\rho_2)=(\rho_1 \rho_2)^2\]
\[f_{\theta}(\theta_1,\theta_2)=2(\theta_1 + \theta_2)\]
\[f_{\phi}(\phi_1,\phi_2)=2(\phi_1 + \phi_2)\]
\[f_{\alpha}(\alpha_1,\alpha_2)=2(\alpha_1 + \alpha_2).\]

Esta es una segunda metamorfosis calculada utilizando un polinomio $P(q)$ del tercer grado y las cuatro funciones siguientes :
\[P(q)=1 q-q^2+q^3+\{-0.5815147625160462,+0.6358885017421603,0,0\}\]
\[f_{\rho}(\rho_1,\rho_2)=(\rho_1 \rho_2)^2\]
\[f_{\theta}(\theta_1,\theta_2)=2(\theta_1 + \theta_2)\]
\[f_{\phi}(\phi_1,\phi_2)=2(\phi_1 + \phi_2)\]
\[f_{\alpha}(\alpha_1,\alpha_2)=2(\alpha_1 + \alpha_2).\]

Finalmente, este conjunto es de alguna manera una mezcla entre un fractal determinista (un conjunto de Julia) y un fractal no determinista. En efecto, ha sido calculado con un polinomio $P(q)$ y las cuatro funciones siguientes :
\[P(q)=1 q+\{0,1,0,0\}\]
\[f_{\rho}(\rho_1,\rho_2)=(\rho_1 \rho_2)^{Fractal(x,y,z,t)}\]
\[f_{\theta}(\theta_1,\theta_2)=5(\theta_1 + \theta_2)\]
\[f_{\phi}(\phi_1,\phi_2)=8(\phi_1 + \phi_2)\]
\[f_{\alpha}(\alpha_1,\alpha_2)=11(\alpha_1 + \alpha_2),\]

donde $Fractal(x,y,z,t)$ es una función fractal (del tipo de aquellas que son utilizadas, por ejemplo, para producir animaciones de montañas y de nubes).

Sobre la importancia de las iteraciones

Estas ’’experiencias’’ confirman lo que ya sabíamos. La noción de iteración es fundamental, permitiendo -en general con ayuda de reglas elementales- ir de lo simple a lo complejo : iteración de operaciones aritméticas para los fractales, iteración de desplazamientos en el espacio con el paseo aleatorio o incluso iteración de reglas de reescritura con los autómatas celulares.

« MandelBulbs »...

y « JuliaBulbs ».

Para apreciar toda esta galería de imágenes, se puede consultar la versión original de este artículo (en francés) en el sitio del autor.