En los últimos días, terminé de escribir una pequeña nota [1] en mi casa (durante un largo fin de semana). La mayoría de mis libros de matemáticas están en mi oficina, y a veces me siento un poco indefenso cuando necesito un resultado. También me siento indefenso cuando necesito un resultado pero no recuerdo cuál. Me explico (no es necesario comprender de qué estoy hablando para leer el resto de mi nota). Luego de eliminar varios sub-casos en mi artículo, termino con una representación de dimensión 2 de un grupo de Galois, y sé que su restricción a un sub-grupo de índice finito es la suma de dos caracteres (propiedad A). Quiero mostrar que mi representación es una suma de caracteres o una inducción (propiedad B). ¿Será cierto esto último ? Mis grupos no son finitos, pero no importa : lo supondremos para explorar el problema. Primero, ya sé que ’’A implica B’’ no es cierto en general, pero mis grupos de Galois son resolubles ; es decir, tienen una estructura más simple que los grupos arbitrarios. ¿Qué sabemos sobre las representaciones de los grupos resolubles ? Yo : nada de nada.

Entonces decido aplicar un método que ya ha demostrado su eficacia : escribo ’’representaciones de grupos resolubles’’ en Google. Observando los primeros resultados, no hay nada prometedor. todo parece más orientado hacia los teoremas de Burnside o los grupos de Lie resolubles. Como última opción, visito la página de Wikipedia acerca de los teoremas de Burnside. Es interesante, pero no me ayuda. Sin embargo, hay un enlace al artículo ’’Teoría de Representaciones de un Grupo Finito’’. Lo visito, pero tampoco logro avanzar, así que intento con otras palabras clave en francés y en inglés. La búsqueda ’’induced representations solvable groups’’ me lleva (en la segunda página) a un apunte de Joseph Bernstein de la Univiersidad de Tel-Aviv, y Google me destaca la siguiente frase ’’[P] 4. (i) Let G be a c-solvable finite group. Show that any irreducible representation $\sigma$ of G is induced from a one dimensional representation of some ...’’. ¡Ah ! Se acerca más a lo que estoy buscando ; pero ¿qué es un grupo c-resoluble ? Descargo el apunte y veo que a esto se le suele llamar un grupo híperresoluble. Lo pienso un poco y me doy cuenta de que mi grupo de Galois es hiperresoluble, lo que es bueno. Como el apunte de Bernstein corresponde a una tarea y no el enunciado es un ejercicio para el que no se da la solución, vuelvo a buscar en Google ’’induced representations supersolvable groups’’. En la tercera línea, hay un enlace a una wiki sobre grupos, que contiene la siguiente frase : ’’It turns out that every representation of a supersolvable group is monomial. In other words, every irreducible representation of a supersolvable group can be induced from a one-dimensional representation of some subgroup.’’ Esto es exactamente lo que quiero, y además me enseña el término ’’monomial’’ ; pero tampoco está la demostración. Ahora escribo ’’monomial representations supersolvable groups’’ y aparece un pasaje del escaneo de Google de la versión en inglés del libro de Jean-Pierre Serre sobre representaciones lineales de grupos finitos, que contiene el enunciado y su demostración (es el teorema 16 del párrafo 8.5). ¡Victoria !

Luego dejé de usar Google y leí la demostración hasta que entendí el argumento principal, para adaptarlo a mi situación. El resultado final es el lema 4.2 de [1]. ¿Cómo lo hacíamos antes de Google ?