Dardos y cometas en el cielo matemático

Piste verte Le 16 novembre 2010  - Ecrit par  Aurélien Alvarez
Le 14 octobre 2020  - Traduit par  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
Article original : Fléchettes et cerfs-volants dans le ciel mathématique Voir les commentaires
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Un período propicio para los arreglos domésticos, ¿no ? Bueno, puede que sin saberlo, algunos de ustedes hayan hecho más matemáticas de lo que parece... Aviso para los aficionados al embaldosado...

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¡La Alhambra ! ¡La Alhambra ! Palacio que los genios
Han dorado como un sueño y llenado de armonías,
Fortaleza con almenas festonadas y en ruinas
Donde se escucha la noche con mágicas sílabas
Cuando la luna, a través de los mil arcos árabes,
Siembra los muros con trébol blanco.

Victor Hugo (Extracto de ’’Los Orientales’’ XXXI (Granada) del Libro III)

La Alhambra de Granada es uno de los principales monumentos de la arquitectura islámica, testimonio de la presencia musulmana en España desde el siglo VIII al XV. En los motivos decorativos que adornan los azulejos en la Alhambra se esconden regularidades basadas en motivos geométricos, según un arte que fue perfeccionado y elevado a un nivel de complejidad y de desarrollo jamás conocido anteriomente. Hay 17 tipos de teselados periódicos del plano y se encuentra ejemplos de casi todos estos teselados sobre los muros de la Alhambra.

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En este artículo, quisiera hacer publicidad a un DVD y a una película.

El DVD de Atractor

Una de las numerosas contribuciones del matemático William Thurston a la topología es la Teoría de los Orbifolds, en español ’’orbivariedad’’, que provee entre otras, una muy hermosa y elegante manera de comprender por qué hay sólo 17 teselaciones periódicas del plano. Si el tema de las simetrías y las orbivariedades le interesa, aquí hay algunas explicaciones (en inglés). Pero me gustaría, sobre todo, presentarle el trabajo del equipo de Atractor que ha elaborado un simpático DVD, con el fin de familiarizarse con las ideas de esta teoría de los orbifolds.

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Más exactamente, el DVD contiene un programa computacional bastante simple de utilizar, con el cual usted podrá :

  • aprender y jugar con los diferentes elementos que componen una orbivariedad ;
  • para cada orbivariedad, una pequeña animación permite comprender la forma en la cual la orbivariedad sella el friso o el teselado ;
  • para cada teselado, una pequeña animación muestra cómo obtener la orbivariedad a partir del teselado.

En resumen, hay definitivamente muchas cosas en ese DVD, con el cual uno puede entretenerse durante horas. Se lo recomiendo de todas maneras. Para obtenerlo, infórmese aquí.

Una película acerca de las teselaciones de Penrose

Las teselaciones han sido objeto de muchos artículos publicados en este sitio. Para refrescarle la memoria, según si su humor del día es más bien :

Los 17 teselados periódicos del plano eran conocidos hacía mucho tiempo cuando el matemático y físico británico Roger Penrose descubrió teselados no periódicos muy simples (el primero de esos teselados fue construido por Robert Berger en 1966 y se componía de 20426 tejas). Su intención no era abrir un nuevo campo de las matemáticas y de la física, sino solamente crear una diversión matemática. En 1974, él publicó un artículo presentando un teselado del plano con ayuda de pentágonos, rombos, pentagramas y porciones de pentagramas [1].

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Maurizio Paolini y Alessandro Musesti, profesores de matemáticas en el Departamento de Matemáticas y de Física Niccolo Tartaglia de la Universidad Católica de Brescia, Italia, acaban de terminar una pequeña película notable, de unos 15 minutos, acerca de los teselados de Penrose. La página web de su proyecto está aquí. La película es distribuida bajo una licencia Creative Commons. Está libremente descargable y todo el mundo es bienvenido para darles una mano, por ejemplo, grabando los comentarios en otros idiomas, haciendo traducciones de subtítulos o incluso de la página web.

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Los teselados de Penrose son teselados no periódicos, pero contienen regiones que se repiten siempre en forma idéntica. En esta película, el acento está puesto en el teselado dardos-cometas. Por supuesto, los autores comienzan por explicarnos lo que son los teselados periódicos, antes de introducir las restricciones entre piezas adyacentes. Después, es hora de conocer los triángulos de oro, así como sus subdivisiones. Ahora uno está listo para descubrir los teselados de Penrose, antes de terminar con algunas variantes artísticas : en lugar de tomar adoquines blancos o negros, por qué no tomar pájaros o reptiles a la manera de Escher por supuesto. Las músicas de la película, también muy bien escogidas, son extraidas del álbum Ambient Symphony del zero-project. Verdaderamente esta película es un gran éxito. ¡Felicitaciones !

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Los teselados de Penrose, ¿una linda diversión para matemáticos ? Sí, pero no únicamente. En 1984, fueron descubiertos materiales que presentan una estructura fuertemente ordenada como la de los cristales, pero no periódica : los cuasi-cristales. Estos últimos tienen muy buenas cualidades de aislación térmica y eléctrica, aunque sean aleaciones metálicas. Son extremadamente duros, lo que les confiere excelentes cualidades tribológicas, es decir, de desgaste a los roces. Y los teselados no periódicos, en especial los de Penrose, se revelan como un buen modelo de esos extraños materiales.

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Motivado por las propiedades electromagnéticas y macroscópicas de esos sólidos, Jean Bellissard estudió en los años 1980-1990 el movimiento de un electrón en un cuasi-cristal. Todo esto es bastante delicado de describir matemáticamente y sale del paso de problemas difíciles, uno de ellos conocido bajo el nombre de gap-labelling. Toda una escuela se interesa en esas preguntas llamadas de topología no conmutativa. Otros teselados más generales han sido descubiertos en los años 1990 por Conway y Radin : los famosos teselados de tipo pinwheel. ¿Y si el próximo verano usted redecorara su sala de baño embaldosándola al estilo pinwheel ? ¿Por qué no ?

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Post-scriptum :

La redacción de Images des Maths, así como el autor, agradecen por su atenta relectura a los siguientes relectores : Emmanuel Beffara, Nicolas Chatal, François Gramain y Barbara Schapira.

Article original édité par Aurélien Alvarez

Notes

[1Penrose, Bull. Inst. Maths. Appl. 10 (1974) 266.

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Pour citer cet article :

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «Dardos y cometas en el cielo matemático» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

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