Dos más dos es igual a cuatro

Le 22 juin 2010  - Ecrit par  Benoît Kloeckner
Le 22 mai 2019  - Traduit par  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
Article original : Deux plus deux égale quatre Voir les commentaires
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Hace algún tiempo asistí a una conferencia de Misha Gromov, que él comenzó de la siguiente manera : ’’Dos más dos es igual a cuatro ; de hecho, lo interesante es que más bien cuatro es igual a dos más dos’’. En esta nota me gustaría explicar este inicio de charla un tanto provocador.

En lenguaje matemático, el enunciado que Gromov quería subrayar se plantea así : ’’hay un morfismo no trivial del grupo de las permutaciones de cuatro elementos en el de las permutaciones de tres elementos.’’ Voy a tratar de explicar lo que eso quiere decir, y el vínculo con $4=2+2$. Sin duda no voy a lograr -en todo caso no en esta nota- explicar completamente por qué es interesante. Sepa de todas maneras que es un fenómeno muy raro, que no ocurre con otros números. En mi conocimiento es uno de los ejemplos más simples de idea matemática que es posible explicar completamente a todo el mundo, y en esta simplicidad está su belleza. ¡Espero que sea una motivación suficiente !

De cuatro a tres

Volvamos por lo tanto a $4=2+2$. Esta igualdad significa que si uno toma $4$ objetos, puede separarlos en un paquete de $2$ y un paquete de $2$. Por ejemplo :

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Contemos cuántas maneras de hacerlo existen : es ahí cuando el número $3$ aparece.
En efecto, una vez que uno ha elegido por ejemplo cuál objeto va a acompañar al triángulo, está obligado a constituir el segundo paquete con los dos objetos restantes. No hay más que $3$ posibilidades : poner el triángulo con el cuadrado (y por lo tanto la estrella con el círculo), o con la estrella, o con el círculo.

Permutaciones

Hablemos ahora de permutaciones. Permutar nuestros cuatro objetos es simplemente intercambiar unos con otros.
Por ejemplo, se puede intercambiar el triángulo con el círculo :

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cambiar a la vez el triángulo con el círculo y el cuadrado con la estrella :

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o incluso enviar al triángulo al lugar del círculo, el círculo al lugar del cuadrado, y el cuadrado al lugar del triángulo :

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Por supuesto hay aún muchas formas de proceder (¿cuántas en total según usted ?). Uno puede componer permutaciones, es decir, efectuar una después de la otra, y el resultado es todavía una permutación. Hay una permutación donde cada objeto queda en su lugar inicial (se le llama la identidad). Finalmente, todas las permutaciones son invertibles : se puede encontrar una nueva permutación que deshace lo que ha hecho la primera, es decir que vuelve cada objeto a su lugar inicial. Estas propiedades hacen que uno hable del grupo de las permutaciones. La noción de grupo es fundamental en casi todas las ramas de las matemáticas. Por ejemplo, en geometría, el conjunto de las simetrías de una figura forma un grupo.

Un pequeño comentario : cuando uno compone dos permutaciones, el orden es importante (se dice que el grupo de las permutaciones es no conmutativo). Eso no debe asombrarlo, pues muchas operaciones de la vida corriente son no conmutativas. Por ejemplo, ponerse los zapatos y después los calcetines en general no da el resultado previsto.

El ’’morfismo’’

Consideremos una permutación establecida, alguna con nuestros cuatro objetos, que llamaremos $\sigma$ (sigma). Por ejemplo, tomemos la última que dibujamos arriba : ella envía el triángulo al lugar del círculo, el círculo al lugar del cuadrado, y el cuadrado al lugar del triángulo, dejando la estrella en su lugar.

Lo que permite afirmar la discusión en torno a $4=2+2$ es que uno puede fabricar con esta permutación una nueva permutación que actúa sobre tres objetos (es decir, cambia esos tres objetos unos con otros). Los objetos en cuestión ya no son los símbolos círculo, cuadrado, triángulo, estrella, sino las tres separaciones posibles de esos símbolos. En efecto, si uno toma una separación de los cuatro objetos iniciales en dos paquetes, intercambiando los objetos según nuestra permutación, se obtiene una nueva separación en dos paquetes de $2$ :

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Se dice que $\sigma$ induce una permutación sobre las tres separaciones. Evidentemente, si uno compone dos permutaciones $\sigma$ y $\sigma'$ de los cuatro objetos y observa lo que ocurre en las tres separaciones posibles, se obtiene la compuesta de las permutaciones inducidas : en matemáticas se habla entonces de morfismo. El morfismo es aquí el proceso de fabricación de una permutación de tres elementos a partir de una permutación de cuatro elementos.

Aquí está la descripción completa de la permutación sobre las separaciones que se obtiene en el caso considerado :

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¿Por qué $4$ ?

Este fenómeno es muy especial. En efecto, si uno trata de hacer lo mismo con $6$ en lugar de $4$, se debe buscar el número de separaciones de seis objetos en dos paquetes : hay $10$. Y como $10$ es mayor que $6$, no es muy interesante. Es fácil fabricar una permutación de $10$ objetos a partir de una permutación de $6$ objetos : basta con añadir a los $6$ iniciales $4$ objetos que no se muevan nunca. Se puede tratar con otros valores, pero $4=2+2$ es una fórmula ’’excepcional’’, en el sentido que el morfismo construido no tiene análogo.

En una próxima nota, trataré de explicar el rol de las permutaciones en la geometría : se verá reaparecer objetos que van de a cuatro o de a tres, y se podrá ilustrar nuestro morfismo gracias a... un simple cubo.

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Pour citer cet article :

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «Dos más dos es igual a cuatro» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

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