Tres siglos de desafío matemático

Prefacio de Aurélien Alvarez, profesor-investigador en la Université d’Orléans.

’’Y es así como se demuestra el último teorema de Fermat. Pienso que voy a detenerme ahí.’’
Es con esas palabras que el 23 de junio de 1993 en Cambridge, Andrew Wiles puso fin a un viejo enigma de 350 años que, pese a una formulación simple, nunca dejó de ser un motor increíblemente estimulante para las ciencias científicas. Ya ni se cuenta a los matemáticos que se quebraron los dientes con lo que a primera vista parece una bagatela : encontrar tres números enteros naturales no nulos $x, y, z$ tales que $x^n+y^n=z^n$. Por supuesto, para $n = 2$, todos los colegiales reconocerán el famoso teorema de Pitágoras. Y no es muy difícil demostrar en ese caso que existe una infinidad de soluciones enteras, comenzando por los tripletes $(3, 4, 5)$ o $(5, 12, 13)$ por ejemplo. Pero para $n = 3$, ¿cuál es ?
La famosa nota de Pierre de Fermat dejada en su ejemplar de las Aritméticas de Diofanto hizo correr mucha tinta, ya que ese último no había dudado en escribir que no había ninguna solución a la ecuación tal que sea $n \geq 3$, pero que la estrechez del margen ¡le había impedido exponer su ’’maravillosa demostración’’ ! Pero no olvidemos que Fermat vivía en una época donde era costumbre lanzarse desafíos matemáticos y fanfarronear de vez en cuando...
Incluso si la demostración del caso $n = 3$ no nos llegó por Fermat mismo, todo parece indicar que el aficionado a genio sabía al menos demostrar los casos $n = 3$ y $n = 4$ de su teorema. Y es a propósito del caso $n = 4$ que él inventó un método magnífico, el llamado método de descenso infinito, cuyo principio es extremadamente simple : si $x, y, z$ son tres enteros naturales no nulos, tales que $x^4 + y^4 = z^4$, se puede entonces encontrar otros tres enteros no nulos y más pequeños que verifican la misma ecuación. Iterando el razonamiento varias veces, rápidamente se llega a una contradicción, ya que no existen enteros naturales no nulos tan pequeños como se desea. Elegante estrategia que parece, sin embargo, imposible hacer funcionar para $n\geq 5$.
En el siglo XIX, las cosas se aceleraron. Se llega a demostrar cada vez más casos particulares, $ n = 5, n = 7, n = 14$, etc. Y los protagonistas no son desconocidos, lejos de eso : Dirichlet, Legendre, Lamé y muchos otros aún. Sophie Germain destaca particularmente proponiendo al fin una demostración que puede tratar numerosos casos a la vez. Pero se estaba aún lejos de la realidad, hasta que Lamé hace en la Academia de Ciencias de París el anuncio espectacular de una demostración ¡para todos los exponentes ! La idea era ir más allá de los enteros de Gauss y trabajar con los números incluso más sofisticados : los números ciclotómicos. Muy audaz, salvo por un detalle : la unicidad de la factorización en el conjunto de los números ciclotómicos ¿estaba bien establecida cuando Lamé la utilizó de manera crucial en su esquema de demostración ? La respuesta no se hizo esperar ni un momento : es falso para $n = 23$. Pero Kummer no se contentó con su contraejemplo. Fue el momento para poner a punto nuevos métodos y dar pasos gigantescos en lo que hoy se llama la Teoría de los Números, lo que fue saludado por la Academia de Ciencias en 1857.
De fracasos a pequeñas victorias, los matemáticos no siempre saben resolver el problema dejado por Fermat mientras se acerca el final del siglo XX. Golpe de efecto en 1986 sobre la costa californiana : Ribet acababa de demostrar una conjetura de Serre que redujo el último teorema de Fermat a una consecuencia de otra conjetura, la de Taniyama-Shimura. Una nueva estrategia para atacar el problema, que implicaba matemáticas muy sofisticadas y completamente contemporáneas. Con el anuncio de ese resultado, Andrew Wiles quedó conmocionado, ya que si bien nadie tenía ninguna idea sobre cómo abordar la conjetura de Taniyama-Shimura, esta última hacía un puente entre las curvas elípticas por una parte -donde Wiles ya era un gran especialista- y las formas modulares por otra parte, funciones increíblemente simétricas que se remontan a los trabajos de Poincaré.
Pero todavía entonces el problema de Fermat se resistió hasta el final, con increíbles esfuerzos del solitario y discreto Wiles, quien tuvo que desarrollar numerosas nuevas técnicas para franquear todas las dificultades, etapa tras etapa. Casi veinte años después, las ideas de Wiles sobre las representaciones galoisianas fueron retomadas y perfeccionadas, y poco a poco llegaron a estar entre las herramientas más eficaces que usan algunos especialistas de la teoría analítica de los números. El fanfarrón Fermat seguramente no dudaba de las proezas que sus sucesores deberían afrontar para finalmente perfeccionar una ’’maravillosa demostración’’ : los matemáticos deberán sin embargo trabajar aún más ¡antes que ella aparezca en el margen de un libro !

Extracto del Capítulo 3 – Fermat, un aficionado a genio

Una manera especial de trabajar

Numerosos historiadores se preguntaron por qué Fermat anotaba tanto y escribía tan poco. ¿Por qué no escribía libros para explicar sus ideas y sus descubrimientos ? Pero a medida que se va conociendo a Fermat se comprende que se trataba simplemente de su manera de trabajar. Él no era un matemático profesional. Le gustaba reflexionar sobre matemáticas, física, literatura, filosofía, música, y escibir notas. Era como establecer una conversación con el libro que él leía y dar su punto de vista en el estrecho margen que le dejaba la página. Era como pensar en voz alta. Para las demostraciones rigurosas o más completas de todos los casos posibles, él se remitía a otras personas, tal vez más competentes o que tenían más tiempo. La redacción de un libro le habría exigido una asiduidad y un tiempo del cual no disponía. Más bien él pasaba su tiempo reflexionando y profundizando nuevas ideas. Sus centros de interés eran tan numerosos que no habría podido encasillarse en escribir un libro con todas sus introducciones, sus explicaciones de base y los detalles de sus demostraciones. Una vez que él había aclarado un tema, escribía una nota y pasaba a otro tema.

Page de titre de l’un des livres de François Viète, qui a été beaucoup étudié par Fermat, bien que les deux mathématiciens présentent des aspirations et des méthodes de travail très différentes.

Todo eso podía dar la imagen de un Fermat inconsecuente, que pasaba su tiempo saltando de un tema a otro, sin relación directa entre ellos y sin objetivo final. Su trabajo no estaba destinado a lanzar las bases de una nueva matemática en la estela de la Introducción en el arte análitico de Viète que aspira a resolver todos los problemas, o de la Geometría de Descartes, que intenta explicar todos los fenómenos de la naturaleza. Él estaba sin embargo plenamente consciente de que sus métodos permitían hacer avanzar la ciencia y revolucionar su manera de trabajar, aportando nuevas herramientas al pensamiento para resolver problemas que con los antiguos métodos no había encontrado solución.

La manera de trabajar de Fermat ciertamente es uno de los componentes esenciales que han forjado su leyenda. Su forma de resolver los problemas respiraba originalidad y creatividad, pero a veces era difícil de asimilar y no conseguía ofrecer todos los detalles matemáticos que algunos de sus contemporáneos exigían. El tipo de escritura que mejor correspondía a su pensamiento eran las cartas. Ellas le permitían hablar libremente de ciencia. Eran también el medio ideal para lanzar nuevos desafíos a aquellos con quienes mantenía correspondencia y aceptar que ellos se los plantearan también. Si la situación lo exigía, las cartas de Fermat le daban la posibilidad de profundizar en un detalle, pese a que normalmente él daba sólo índices de solución, para que el lector pudiera continuar con su propia reflexión acerca de los temas tratados, y para mostrar que él tenía la solución pero que no estaba dispuesto a cederla fácilmente. Esta resistencia a explicar sus métodos era parte integrante de esos apasionantes enigmas y encontró un momento de silencio con el desafío de su último teorema.

A pesar de sus virtudes, las cartas tenían también sus defectos. En algunas ocasiones daban lugar a un malentendido que tomaba años en disiparse, o que simplemente no se disipaba nunca. A veces provocaban interminables discusiones para saber si el descubridor de una solución era el primero que lo anunciaba oralmente o el que lo había escrito. Ocasionalmente, las ideas sobrevenían en muchas personas y todas reclamaban su paternidad. O una pregunta era resuelta separadamente por muchas personas y a continuación todas discutían para saber a quién correspondía la gloria de ser el primero. Todo eso, sin mencionar que ciertos correspondientes encontraban placer en todas esas historias y que a veces se escapaba una indiscreción que tenía consecuencias desastrosas para quien era el autor. Desde luego, Fermat trataba de apartarse de todos esos problemas. Sin embargo no podía -para su gran disgusto- mantenerse alejado de eso.

Lettre manuscrite de Fermat.

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