El número áureo en matemáticas

Piste rouge Le 14 janvier 2009  - Ecrit par  Pierre de la Harpe
Le 14 janvier 2009  - Traduit par  Edgard Araya, Andrés Navas, Pilar Garcés
Article original : Le nombre d’or en mathématique Voir les commentaires
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Texto matemático de divulgación sobre el número áureo $\varphi \approx 1.61803...$ Primero mostramos la equivalencia de varias definiciones de este número. Luego describimos el rol que cumple en algunos problemas geométricos (proporciones en un pentágono regular), así como en varias consideraciones aritméticas elementales y más avanzadas (aproximación diofántica, el décimo problema de Hilbert). Los prerrequisitos matemáticos implícitos varían considerablemente de un lugar a otro.


Chic
J’ai
Compris
L’essentiel
Et c’est pour demain
Si le diable est dans les détails [1]

Una selección de definiciones

En matemáticas, la proporción áurea se puede definir de varias maneras, diferentes, pero todas equivalentes en el sentido de que definen el mismo número. La elección de las siguientes definiciones, así como su orden, es, por lo tanto, bastante arbitraria.

Definición 1 : La proporción áurea corresponde al número \[ \varphi \, = \, \frac{\sqrt{5} + 1}{2} . \]

La notación elegida, la letra griega $\varphi$, pronunciada ’’fi’’, es uno de los usos comunes (otra es $\tau$, pronunciada a medio camino entre ’’tau’’ y « tao »). Algunos autores afirman que la elección de $\varphi$ honra al escultor griego Fidias, del siglo V a.C.

Aproximaciones decimales

Para su comodidad : de $4 < 5 < 9$, deducimos primero $2 < \sqrt{5} < 3$, de donde sigue $1,5 < \varphi < 2$.
Llevando los cálculos un poco más lejos, primero :

\[ 4,84 < 5 < 5,29 \Longrightarrow 2,2 < \sqrt 5 < 2,3 \Longrightarrow 1,6 < \varphi < 1,65 , \]

o más lejos :

\[ 4,9729 < 5 < 5,0176 \Longrightarrow 2,23 < \sqrt 5 < 2.24 \Longrightarrow 1,615 < \varphi < 1,62 , \]

etc., que continuará hasta que encontremos (como en al menos una página de Wikipedia) :

$ \varphi \approx 1,618 033 988 7 \cdots , $
o un poco más :

\[ \varphi \, \approx \, 1,61803398\, 87498948\, 48204586\, 83436563\, 81177203\, 09179805\, 76286213 \cdots . \]

Ver por ejemplo este enlace para los primeros $15 \, 000$ decimales de $\varphi$.

Una consecuencia de la proposición 2 (ver más abajo) señala que no es posible escribir un valor exacto en notación decimal con un número finito de dígitos.

Definición 2 : El número áureo es la solución positiva de la ecuación $x^2 - x - 1 = 0$.

Equivalencia con la definición 1.

La ecuación $x^2 - x - 1 = 0$ tiene dos soluciones, que son $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ y $\frac{1 - \sqrt{5}}{2}$, como se verifica al escribir :
\[ \left( x - \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right) \left( x - \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \right) \, = \, \left(x-\frac{1}{2}\right)^2 - \left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^2 \, = \, \left(x^2 - x + \frac{1}{4} \right) - \frac{5}{4} = \, x^2 - x -1. \]
Además, es (casi) evidente que el número $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ es positivo, mientras que el número $\frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ es negativo.

CQFD

Observaciones

Así, $\varphi^2 - \varphi - 1 = 0$. A veces es conveniente escribir la ecuación como
\[ \frac{1}{\varphi} \, = \, \varphi - 1 . \]
También notamos que
\[ {}-\frac{1}{\varphi} = \, \frac{-2}{\sqrt 5 + 1} \, = \, \frac{-2(\sqrt 5 - 1)}{(\sqrt 5 + 1)(\sqrt 5 - 1)} \, = \, \frac{-2(\sqrt 5 - 1)}{4} \, = \, \frac{1 - \sqrt 5}{2} , \]
es decir, la otra solución de la ecuación de la definición 2 es precisamente
\[ {}-\frac{1}{\varphi} = \, \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \, \approx \, - 0.618 \cdots . \]

Definición 3 : El número áureo es la proporción $\varphi$ tal que, dados dos números positivos $L$ y $\ell$ tales que $L > \ell > 0$, la razón de $L+\ell$ sobre $L$ es igual a la razón de $L$ sobre $\ell$.

Equivalencia con la definición 2.

Si $\frac{L+\ell}{L} = \frac{L}{\ell} \, = \, \varphi$, entonces $\frac{\varphi \ell + \ell}{\varphi \ell} = \varphi$, por lo que $\frac{\varphi + 1}{\varphi} = \varphi$, o como antes,
\[ \varphi + 1 \, = \, \varphi^2 , \]
por lo que $\varphi$ es el mismo número de la definición 2.

Recíprocamente, sea $\varphi$ el número de la definición 2.
Elijamos arbitrariamente un número $\ell > 0$ y fijemos $L = \varphi \ell$.
Es fácil comprobar que $\frac{L + \ell}{L} = \frac{L}{\ell} = \varphi$, por lo que $\varphi$ es el mismo número de la definición 3.

CQFD

Considere en una recta un segmento de extremos $Q$ y $S$, de longitud $L + \ell$, con un punto $U$ en el segmento tal que la longitud de $QU$ es $L$ y la de $US$ es $\ell$. Si $\frac{L+\ell}{L} = \frac{L}{\ell}$, la terminología clásica permite decir que el punto $U$ divide el segmento $QS$ en media y extrema razón.

Hagamos algo de Geometría primero...

Proposición 1 : En un pentágono regular cuyos lados miden $1$, las diagonales tienen longitud $\varphi$.

Demostración.

Considere un pentágono regular con vértices $P,Q,R,S,T$,
cuyos lados tienen longitud :
\[ (PQ) = (QR) = (RS) = (ST) = (TP) = 1 . \]
Las cinco diagonales también tienen la misma longitud, que denotamos por $\tau$ :
\[ (PR) = (QS) = (RT) = (SP) = (TQ) = \tau . \]
Vamos a mostrar que $\tau = \varphi$.

SUGERENCIA : ¡ Dibuja una figura mientras lees lo que sigue !

En primer lugar, sea $U$ la intersección de las diagonales $QS$ y $RT$. Los triángulos $UTQ$ y $URS$ tienen sus lados paralelos de dos en dos ; por lo tanto son similares, y tenemos
\[ \frac{(QU)}{(US)} \, = \, \frac{(QT)}{(RS)} \, = \, \tau . \]
Segundo, el cuadrilátero $PQUT$ es un rombo (lados opuestos paralelos y por lo tanto de la misma longitud). Como resultado :
\[ (QU) \, = \, (PT) \, = \, 1 . \]
Esto implica que
\[ \frac{(QS)}{(QU)} \, = \, \frac{(QS)}{(PT)} \, = \, \tau \, = \, \frac{(QU)}{(US)} . \]
Dada la definición 3 (donde podemos leer $L = (QU)$ y $\ell = (US)$), se obtiene $\tau = \varphi$.

CQFD

Esta proposición muestra así la equivalencia de las definiciones anteriores con la definición siguiente.

Definición 4 : El número áureo es la razón entre la longitud de las diagonales y la longitud de los lados en un pentágono regular.

Observación : La proporción áurea aparece así de una forma muy sencilla en una figura, el pentágono regular, que ha ejercido una gran fascinación desde el principio de los tiempos.
El descubrimiento de que este número es irracional (ver más abajo) fue un shock considerable para los geómetras de la antigua Grecia ; ver [OsWa].

Ejercicio. Si sabes lo que es un coseno, demuestra que
\[ 2 \cos \frac{\pi}{5} \, = \, \varphi\]
y
\[ 2 \cos \frac{2\pi}{5} \, = \, \frac{1}{\varphi} . \]

Indicación.

En un pentágono regular cuyos lados tienen una longitud de $1$, encontramos un triángulo rectángulo cuya hipotenusa tiene una longitud de $1$ y un cateto con una longitud de $\varphi / 2$.

Observación, para lectores que saben cómo manipular el exponencial de un número complejo.

Aquí hay otra forma de demostrar la relación del ejercicio anterior :
si $z = e^{2i\pi/5}$ y $\gamma = \left( z + \frac{1}{z}\right) = 2 \cos(2\pi/5)$,
entonces $z^4 + z^3 + z^2 + z + 1 = 0$ y $\gamma^2 + \gamma - 1 = 0,$
y por tanto, $\cos(2\pi/5) = \frac{\sqrt 5 - 1}{4}.$
Deducimos primero que
$2 \cos^2 (\pi/5) = 1 + \cos(2\pi/5) = \frac{3 + \sqrt 5}{4}$,
y finalmente que
$2\cos(\pi/5) = \sqrt{\frac{3 + \sqrt 5}{2}} = \frac{1 + \sqrt 5}{2} = \varphi$.

Aquí hay una traducción trigonométrica de las cuatro líneas anteriores, sin un número complejo. Elijamos el origen del plano en el centro del pentágono y observemos sus vértices en orden cíclico : $z_0,z_1,z_2,z_3,z_4$.
Primero mostramos que la suma $S = z_0+z_1+z_2+z_3+z_4$ de estos cuatro vectores es igual a cero.

En efecto, la mitad de la suma de dos vértices consecutivos es el punto medio del lado que los une, de modo que, por ejemplo, $\frac{1}{2}(z_0+z_1) = - \rho z_3$, donde $\rho$ es la distancia entre el origen y el punto medio de un lado. Después
\[ S \, = \, \frac{1}{2}(z_0+z_1) + \frac{1}{2}(z_1+z_2) + \frac{1}{2}(z_2+z_3) + \frac{1}{2}(z_3+z_4) + \frac{1}{2}(z_4+z_0) = \, - \rho z_3 - \rho z_4 - \rho z_0 - \rho z_1 - \rho z_1 \, = \, - \rho S , \]
lo que implica $S = 0$.

Las coordenadas de los vértices se escriben como :
\[ \begin{array}{lll} z_0 \,&= \, &(1,0)\\ z_1 \,&= \, &(\cos \frac{2\pi}{5} , \sin \frac{2\pi}{5} )\\ z_2 \,&= \, &(\cos \frac{4\pi}{5} , \sin \frac{4\pi}{5} )\\ z_3 \,&= \, &(\cos \frac{4\pi}{5} , -\sin \frac{4\pi}{5} )\\ z_4 \,&= \, &(\cos \frac{2\pi}{5} , -\sin \frac{2\pi}{5} ) \end{array} \]
y $S = 0$ implica
\[ 1 + 2 \cos \frac{2\pi}{5} + 2 \cos \frac{4\pi}{5} \, = \, 0 . \]
Hagamos provisionalmente $x = 2 \cos \frac{\pi}{5}$. Entonces
\[ 2 \cos \frac{2\pi}{5} \, = \, x^2 - 2 \quad \mathrm{y} \quad 2 \cos \frac{4\pi}{5} \, = \, (x^2 - 2)^2 - 2 = x^4 - 4x^2 + 2 , \]
de modo que la relación anterior se escribe
\[ 1 + x^2 - 2 + x^4 -4x^2 + 2 \, = \, x^4 - 3x^2 + 1 \, = \, 0 . \]
A priori encontramos las dos soluciones $x^2 = \frac{1}{2}( 3 \pm \sqrt 5)$. Pero el signo $-$ no es apropiado, porque
$\frac{\pi}{5} < \frac{\pi}{3}$ $\Rightarrow$ $\cos \frac{\pi}{5} > \cos \frac{\pi}{3} = 1$
$\Rightarrow$ $2 \cos \frac{\pi}{5} > 1$ $\Rightarrow$ $x^2 > 1$.
Por lo tanto, encontramos $x^2 = \frac{1}{2}( 3 + \sqrt 5)$, lo que implica
$x = \frac{1}{2}(1 + \sqrt 5) = \varphi$, como se esperaba.

Ejercicio. Consideramos en el plano una circunferencia con centro en un punto $O$ ; dos radios $OP$ y $OB$ perpendiculares a esta circunferencia ; el punto medio $D$ del radio $OB$ ; la bisectriz del ángulo $ODP$ que corta al radio $OP$ en un punto $N$ ; la perpendicular a $OP$ en $N$ que corta al círculo en un punto $Q$ y el punto simétrico $T$ de $ Q $ con respecto a la línea que lleva el radio $OP$.
Demuestre que $\frac{(QT)}{(PQ)} = \varphi$ ; es decir, $P$, $Q$ y $T$ son tres de los cinco vértices de un pentágono regular inscrito en el círculo inicial.

(La construcción corresponde a la que se muestra en la página 27 de [Cox—69] ; es una variante de la construcción de Euclides. Para encontrar la solución al ejercicio debes obviamente comenzar haciendo un dibujo).

Observación.

La proporción áurea se encuentra naturalmente en varias proporciones de longitudes que aparecen en un dodecaedro regular ; este poliedro del espacio tiene doce caras, cada una de las cuales es un pentágono regular, además de veinte vértices, en cada uno de los cuales se encuentran tres caras.

Encontramos estas mismas relaciones en el poliedro ’’pariente’’ que es el icosaedro regular : tiene $20$ caras que son triángulos equiláteros y $12$ vértices en cada uno de los cuales se juntan $5$ caras. Por ejemplo, los doce puntos del espacio de coordenadas cartesianas
\[ (0, \pm \varphi, \pm 1) ,\qquad (\pm 1, 0, \pm \varphi) , \qquad(\pm \varphi, \pm 1, 0 ) \]
son los vértices de un icosaedro regular.
Estos dos poliedros y los otros tres poliedros regulares (tetraedro, cubo, octaedro) proporcionan el material para el Libro XIII (el último) de los Elementos de Euclides.

La proporción áurea también entra en la descripción de las teselaciones o mosaicos de Penrose, estos fascinantes revestimientos del plano por adoquines descubiertos alrededor de 1970.
En una variante de estos mosaicos, cada mosaico es un triángulo isósceles cuyos ángulos son $\pi/5, \pi/5, 3\pi/5$ o bien $\pi/5, 2\ pi/5, 2\ pi/5$ (recordatorio : para un ángulo, $\pi/5 = 36 ^o$).
Una de las ventajas de estos mosaicos (hay muchísimos) es que no tienen simetría traslacional. Pero esta es toda una historia, diferente y magnífica, que requeriría toda una nota por sí sola, por lo que nos limitaremos aquí a señalar un artículo de Martin Gardner [Gar—77], así como algunos sitios web donde encontrar más [Pen], [Pen2], [Pen3].

... y luego aritmética

Recordemos que un número (o ’’número real’’) $x$ se dice racional si existen dos enteros $a,b$, con $b > 0$, tales que $x = \frac{a}{ b}$.
Se dice que tal escritura es irreducible si los enteros $a$ y $b$ son primos relativos ; es decir, si no tienen otro divisor común que no sea $1$.
Por tanto, si $x = 1,75$, entonces $x = \frac{7}{4}$ está en su forma irreducible y los enteros $7,4$ son primos relativos, mientras que $x = \frac{14} {8}$ no es irreducible, ya que $14$ y $8$ tienen a $2$ como divisor común.
Es fácil comprobar que, para un número racional dado $x$, existe exactamente un par $a,b$ tal que $x = \frac{a}{b}$ quede escrito en su forma irreducible.

Un número real es irracional si no es racional. Por ejemplo, si se define $\pi$ [2] como la razón entre el perímetro y el diámetro de un círculo,
\[ \pi\, \approx\, 3.14159\, 26535\, 89793\, 23846 \ldots, \]
y sabemos que $\pi$ es un número irraciona : la primera demostración de este hecho, debida a Lambert, data de 1761. Incluso sabemos que $\pi$ es un número trascendental, lo cual fue demostrado por Lindemann en 1882, y que trae la ’’respuesta moderna’’ a una famosa pregunta que había surgido desde la antigüedad griega, a saber, la cuadratura del círculo, pero eso también es otra historia.

Del mismo modo, sabemos que el número
\[ \begin{array}{rcl} e &=& 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \frac{1}{4!} + \frac{1}{5!} + \frac{1}{7!} + \frac{1}{8!} + \cdots\\ &\approx& 2,71828 \, 18284 \, 59045 \, 23536 \cdots \end{array} \]
es irracional (Euler, 1737 [Eul—37]), e incluso trascendente (Hermite, 1873). Que yo sepa, nadie sabe [3] demostrar que $\pi + e$ es irracional (a fortiori trascendente). Como curiosidad, se tiene un resultado reciente que impresiona a los especialistas : los tres números $\pi$, $e^{\pi}$ y $\Gamma(\frac{1}{4})$ son algebraicamente independientes en Q (Nesterenko, 1997, véase el capítulo 10 de [Rib—00]).

Proposición 2 : El número $\varphi$ es irracional.

Primera demostración.

Para demostrarlo, supongamos que $\varphi$ sea racional, es decir, $\varphi = \frac{a}{b}$ con $a$ y $b$ primos relativos, y lleguemos a una contradicción. Sea $c = 2a-b$. Comprobamos que el máximo común divisor entre $c$ y $b$ es $1$ o $2$.
Si $\frac{\sqrt{5}+1}{2} = \frac{a}{b}$, entonces $\sqrt{5} = \frac{2a-b}{b} = \frac{c} {b}$, es decir,
\[\begin{equation} 5 b^2 \, = \, c^2 .\label{*} \end{equation}\]
De ello se deduce que $c^2$ es divisible por $5$.
Como resultado (¡atención ! : este es el punto clave de la prueba), $c$ es divisible por $5$ (de modo que $c^2$ es de hecho divisible por $25$).
Entonces existe un entero $f$ tal que $c = 5f$ ; podemos reescribir $\ref{*}$ en la forma $5 b^2 = 25 f ^2$, de modo que
\[\begin{equation} b^2 \, = \, 5 f^2 . \label{**} \end{equation}\]
Repitiendo el mismo razonamiento, vemos que existe un entero $g$
tal que $b = 5g$.

Al comparar las igualdades $c=5f$, $b=5g$ con la hipótesis de que $b$ y $c$ no tienen otro divisor común que $1$ o $2$, vemos que hay una contradicción. Es pues la hipótesis de la existencia de un par $a,b$ con $\varphi = \frac{a}{b}$ la que es absurda.

CQFD

Idea para una segunda demostración.

Supongamos que $\varphi = \frac{a}{b}$, con $a$ y $b$ primos relativos. Notamos primero que los enteros $a$ y $b$ satisfacen $a > b$.
Usando la definición 3, también obtenemos $\varphi = \frac{b}{a-b}$, y es fácil verificar que los enteros $b$ y $a-b$ también son primos relativos.
Esto contradice el hecho de que un número racional (como $\varphi$ según la hipótesis planteada al principio de esta demostración) tiene una única escritura reducida.

CQFD

Observación :
El argumento de la primera demostración también permite mostrar que los números $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $\sqrt{5}$, $\sqrt{6}$, $\sqrt{7} $, $\sqrt{8}$, $\sqrt{10}$, $\sqrt{11}$, ... , $\sqrt{2009}$, ... son irracionales (a veces se necesita pensar un poco más, como en el caso de $\sqrt{8}$).

Las otras propiedades que queremos describir son más difíciles de probar, y aquí nos limitaremos a enunciarlas.
Sea $x$ un número real irracional. Es fácil convencerse del hecho de que, para todo $\epsilon > 0$, existe una infinidad de pares $(a,b)$ de números primos relativos, tales que
\[ \left\vert x - \frac{a}{b} \right\vert \, < \, \epsilon . \]
Es un poco más difícil demostrar una proposición más fuerte : hay infinitos pares $(a,b)$ de números primos relativos tales que
$ \left\vert x - \frac{a}{b} \right\vert \, < \, \frac{1}{b^2} . $
De hecho, incluso sabemos cómo mostrar más.

Teorema 3 (Hurwitz) : Para todo número real irracional $x$, existen infinitos pares $(a,b)$ de enteros primos relativos tales que \[ \left\vert x - \frac{a}{b} \right\vert \, < \, \frac{1}{\sqrt{5} b^2} .\]

Para el Teorema de Hurwitz, ver por ejemplo, [HaWr—79], capítulo XI, sección 11.8, o [Niv—67], Teoremas 6.1 y 6.2.
Para el siguiente teorema, que es parte de los resultados publicados por A. Markoff (o Markov) en 1879 y 1880, ver [Lev—56], Teorema 9.10 y [Cas—65], Capítulos I y II.

Teorema 4 (Markoff) :

(i) La constante $\sqrt 5$ es la mejor posible en la desigualdad del teorema de Hurwitz. En otras palabras, la afirmación de este teorema deja de ser cierta si reemplazamos $\sqrt 5$ por una constante $C > \sqrt 5$.

(ii) Sea $x$ un número real irracional. Las siguientes dos propiedades son equivalentes :

  • es imposible encontrar una constante $C > \sqrt 5$ y una infinidad de pares $(a,b)$ de números primos relativos tales que
    \[ \left\vert x - \frac{a}{b} \right\vert \, < \, \frac{1}{C b^2}; \]
  • hay enteros $p,q,r,s$ tales que $ps-qr = 1$ o $ps-qr = -1$ y
    \[\begin{equation} x \, = \, \frac{p \varphi + q}{ r \varphi + s} . \label{***} \end{equation}\]

(iii) Si $x$ es irracional y no de la forma $\ref{***}$, entonces hay infinitos pares $(a,b)$ de primos relativos tales que
\[ \left\vert x - \frac{a}{b} \right\vert \, < \, \frac{1}{\sqrt 8 b^2} . \]
Además, para algunos números (por ejemplo, $x = \sqrt 2$), no es posible reemplazar $\sqrt 8$ con una constante mayor.

Podríamos continuar : $\sqrt 5$ y $\sqrt 8$ son los dos primeros términos de una secuencia infinita
$\sqrt{5}$,
$\sqrt{8}$,
$\sqrt{221} / 5$,
$\sqrt{1517} / 13$,
$\sqrt{7565}/29$,
$\sqrt{2600}/17$,
$\sqrt{71 \, 285}/89$,
$\sqrt{257 \, 045} / 168$,
$\sqrt{84 \, 680}/97$,
$\sqrt{488 \, 597}/233$,
...
que tiende al valor $3$. Son todos números de la forma $\sqrt{9m^2 - 4}/m$, donde $m$ es un entero estrictamente positivo, y más precisamente aquellos para los que existen dos enteros $m_1,m_2$ tales que
\[ m^2 + m_1^2 + m_2^2 \, = \, 3mm_1m_2 . \]
Los primeros números $m$ son
\[ 1 , 2 , 5 , 13 , 29 , 34 , 89 , 169 , 194 , 233 , ... \]

Estos resultados se deben a A. Markoff (artículos de 1879 y 1880) ; el ’’teorema de Hurwitz’’ mencionado anteriormente se remonta a un artículo posterior [Hur—91], pero en el que Hurwitz usó un argumento más directo. Ver [CuFl—89] para una presentación con pruebas de los resultados de Markoff, y en particular [CuFl—89], página 2 para algunos comentarios históricos .
Un número de la forma $ \frac{p \varphi + q}{ r \varphi + s}$ con $p,q,r,s$ enteros y $\vert ps-qr \vert = 1$ a veces se denomina número noble.

Esta teoría de las aproximaciones racionales de los números irracionales está íntimamente ligada a la teoría de las fracciones continuas, de la que sólo hablaremos a través del (muy modesto) ejercicio siguiente.

Ejercicio (fracciones continuas). La relación $\varphi = 1 + \frac{1}{\varphi}$ sugiere escribir (¡expresión infinita !)
\[ \varphi = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1+...}}}}}} \]
a las que los matemáticos saben dar un sentido riguroso.
Escriba las fracciones racionales
\[ 1+\frac{1}{1+1} \]
\[ 1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+1}} \]
\[ 1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+1}}} \]
en su forma irreducible.

Nota de geometría importante :
Estos resultados de Markoff que bien pueden aparecer como el fin del fin de la aritmética, se pueden ver con ventaja bajo una óptica decididamente geométrica, en términos de geodésicas sobre una superficie dotada de una métrica riemanniana, una superficie homeomorfa a un toro con un agujero o a una esfera con cuatro agujeros [Ser—85].

La proporción áurea y la sucesión de Fibonacci

La sucesión de Fibonacci es la sucesión de números enteros $F_0,F_1,F_2,F_3,...$ definida por
\[ F_0 = 0, \quad F_1 = 1, \quad F_{k+2} = F_{k+1} + F_k \]
para todo $k \ge 0$. Sus primeros términos son por lo tanto :
$0$,
$1$,
$1$,
$2$,
$3$,
$5$,
$8$,
$13$,
$21$,
$34$,
$55$,
$89$,
$144$,
$233$,
$377$,
$610$,
$987$,
$1597$,
$2584$,
$4181$,
$6765$,
$10946$,
$17711$,
$28657$,
$46368$,
$75025$,
$121393$,
$196418$,
$317811$,
$514229$,
$832040$,
$1346269$,
$2178309$,
$3524578$,
$5702887$,
$9227465$,
$14930352$,
$24157817$,
$39088169$,
...

La terminología se refiere a Leonardo da Pisa (alrededor de 1170-1250), también conocido como Fibonacci (por ser hijo de Guilielmo Bonacci). La suite que lleva su nombre aparece en su liber abaci (libro de cálculos), publicado en 1202. Es este libro el que dio a conocer los números indios en Occidente, también conocidos como números arábigos, que son considerablemente más simples de usar que los números romanos utilizados anteriormente. Parece que los números de Fibonacci eran conocidos por algunos eruditos indios mucho antes de los tiempos de Fibonacci.

Probablemente fue Kepler (1571-1630) el primero en notar explícitamente que la razón $\frac{F_{k+1}}{F_k}$ ’’tiende a $\varphi$ cuando $k$ tiende a infinito’’, o en otras palabras, se acerca más y más a $\varphi$ a medida que $k$ se hace más y más grande. Por ejemplo :

$\frac{F_3}{F_2} \, = \, 2 $,
$\frac{F_4}{F_3} \, = \, 1,5 $,
$\frac{F_5}{F_4} \, = \, 1,666 $,
$\frac{F_6}{F_5} \, = \, 1,6 $,
$... ,$
$\frac{F_{10}}{F_9} \, \approx \, 1,6176$,
$\frac{F_{11}}{F_{10}} \, \approx \, 1,6182$,
$...$

Una forma de mostrar esto es establecer primero la ’’fórmula de Binet’’, que se remonta a Euler [Eul—65], y que podría tomarse como una definición de los números de Fibonacci :
\[\begin{equation} F_k\, = \, \frac{1}{\sqrt 5} \left( \varphi^k - (-\varphi)^{-k} \right) \, = \, \frac{1}{\sqrt 5} \left( \left( \frac{1 + \sqrt 5 }{2} \right)^k - \left( \frac{1 - \sqrt 5 }{2} \right)^k \right). \label{****} \end{equation}\]

De allí se obtiene que
\[\begin{equation} \lim_{k \to \infty} \frac{ F_{k+1} }{ F_k } = \varphi , \label{*****} \end{equation}\]
lo que significa que la aproximación por defecto $\vert \varphi - \frac{ F_{k+1} }{ F_k } \vert$ es tan pequeña como queramos, siempre y cuando elijamos un valor de $k$ lo suficientemente grande.

Notemos primero que las aproximaciones de $\varphi$ por los cocientes sucesivos de los números de Fibonacci son alternativamente, por exceso y por defecto :
\[ 1 = \frac{1}{1} \, < \, \frac{3}{2} \, < \, \frac{8}{5} \, < \, \frac{21}{13} \, < \, ... \, < \, \varphi \, < \, ... ... \, < \, \frac{13}{8} \, < \, \frac{5}{3} \, < \, \frac{2}{1} \, < \, \frac{1}{0} = \infty \]
(donde, por supuesto, debe tomar ’’$ < \frac{1}{0} = \infty$’’ con las consideraciones adecuadas).

Tenga en cuenta también que la relación $\ref{*****}$ no es específica solo de los números de Fibonacci, sino que se aplica a toda una familia de sucesiones numéricas relacionadas. Más específicamente :

Proposición 5 : Sean $a,b$ dos números reales positivos, siendo al menos uno de ellos estrictamente positivo. Definimos una sucesión de números positivos $g_0,g_1,g_2,g_3,...$ como \[ g_0 = a, \quad g_1 = b, \quad g_{k+2} = g_{k+1} + g_k,\] para todo $k \ge 0$. Por ejemplo : \[ g_0 = a, \quad g_1 = b, \quad g_2 = a+b , \quad g_3 = a + 2b , ... \] Entonces \[ \lim_{k \to \infty} \frac{g_{k+1}}{g_k} \, = \, \varphi . \]

Sobre la demostración, indicación para lectores matemáticos.

Primero notamos que
\[ \left( \begin{array}{l} g_{k} \\ g_{k+1} \end{array} \right) \, = \, \left( \begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} g_{k-1} \\ g_{k} \end{array} \right) \]
para todo $k\ge 1$. Entonces la matriz $M = \left( \begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}\right)$ tiene un eje propio que cruza el primer cuadrante ($x > 0, y> 0$), que es un eje propio de valor propio $\varphi$ y, por lo tanto, un eje propio de expansión, además de un eje propio de contracción disjunto de este primer cuadrante, que es un eje propio de valor propio $-\varphi^{-1}$ y, por lo tanto, un eje de contracción. Así, cualquier punto del plano que no esté sobre el eje propio de contracción, en particular el punto $P$ con coordenadas $(a,b)$, proporciona una órbita $\left( M^k P \right)_ {k \ge 1}$ cuyos puntos se acercan tanto más al eje propio en dilatación cuanto más grande es $k$.
Queda por observar que la pendiente del eje propio en dilatación es $\varphi$.

[La condición para que $a$ y $b$ sean positivos no es esencial : basta suponer que el punto $(a,b)$ del plano no está sobre el propio eje de contracción de la matriz $M$.]

CQFD

Ejemplo. Los números de Lucas se definen como $L_0 = 2$, $L_1 = 1$ y $L_{k+2} = L_{k+1} + L_k$ pour $k \ge 0$.
Demostrar por inducción que $L_k = \varphi ^k + (-\varphi)^{-k}$ para todo $k \ge 0$ y que $L_k = F_{k+1} + F_{k-1}$ para todo $k \ge 1$.

Ejercicio, para otra forma de ver ciertas nociones que aparecían en la prueba de proposición 5. Compruebe que la transformación homográfica
\[ {\bf R} \cup \{\infty\} \longrightarrow {\bf R} \cup \{\infty\}\ ,\ t \longmapsto \frac{t+1}{t} \]
tiene exactamente dos puntos fijos, $\varphi$ que es atractivo y $-\varphi^{-1}$ que es repulsivo.
Lo mismo ocurre con las iteraciones de esta transformación, por ejemplo, para la segunda iteración :
\[ t \longmapsto \frac{2t+1}{t+1} . \]

Observación.
La proposición anterior muestra que hay muchas sucesiones $\left( g_k \right)_{k \ge 0}$ cuyos cuocientes sucesivos $\frac{g_{k+1}}{g_k}$ tienden a $\varphi$, sucesiones que podrían llamarse tipo Fibonacci (la terminología no es estándar). Sin embargo, es posible ’’encontrar’’ la propia secuencia de Fibonacci a partir de $\varphi$, como explicamos a continuación (ver propuesta 8).

Mostremos una interpretación de los números de Fibonacci en términos de la longitud de ciertas ’’palabras’’. Para esto, sea $A$ el alfabeto $\{0,1\}$ de tamaño dos y $A^*$ el conjunto de palabras finitas sobre $A$, incluyendo la palabra vacía, es decir el monoide libre en $A$. El morfismo de Fibonacci está definido por las reglas de sustitución
\[ \sigma \, : \, 0 \longmapsto 01 \quad \mathrm{y} \quad 1 \longmapsto 0 \]
así como por la regla $\sigma(w_1w_2) = \sigma(w_1)\sigma(w_2)$ para dos palabras $w_1,w_2 \in A^*$.

Además, sea $\left( \Phi_n \right)_{n \ge 1}$ la sucesión de palabras en $A^*$ definida por $\Phi_1 = 1$, $\Phi_2 = 0$ y
\[ \Phi_n \, = \, \Phi_{n-1}\Phi_{n-2} \]
para todo $n \ge 3$.
Escribiremos $\vert \Phi_n \vert$ para la longitud de la palabra $\Phi_n$, la que se define como la cantidad de letras que posee.
Por ejemplo, $\vert \Phi_1 \vert = \vert \Phi_2 \vert = 1$ y $\vert \Phi_3 \vert = \vert 01 \vert = 2$.

Proposición 6 : Considerando las notaciones como arriba, \[ \sigma^n (1) \, = \, \Phi_{n+1} \quad\mathrm {y} \quad \sigma^n (0) \, = \, \Phi_{n+2} \] y \[ \vert \Phi_n \vert \, = \, F_n \] para todo $n \ge 1$.

Demostración, por inducción sobre $n$.

(Extraída de [AlSh—03], Teorema 7.1.2.)

Las afirmaciones son de verificación inmediata para $n=1$ y $n=2$ . Suponemos ahora $n \ge 3$, y que la proposición ya fue demostrada hasta $n-1$. Entonces
\[ \sigma^n (1) \, = \, \sigma^{n-1} (0) = \Phi_{n+1} \]
y
\[ \sigma^n (0) \, = \, \sigma^{n-1} (01) \, = \, \sigma^{n-1} (0) \sigma^{n-1}(1) \, = \, \Phi_{n+1}\Phi_n \, = \, \Phi_{n+2} , \]
de donde se obtiene la proposición.

CQFD

La palabra infinita de Fibonacci será la palabra infinita
\[ \Phi_{\infty} \, = \, \sigma^{\omega} (0) \, = \, 010010100100101001010 \cdots \]
donde las primeras $F_n$ letras son $\Phi_n$ para todo $n \ge 1$.

Corolario 7 :

(i) La proporción de $0$ en $\Phi_{\infty}$ es $\varphi^{-1}$.

(ii) La palabra infinita de Fibonacci no es invariante por ningún ’’desplazamiento’’ (corrimiento de las coordenadas).

Demostración.

La afirmación (i) es una consecuencia inmediata de la proposición (se deja al lector definir el término ’’proporción’’...). La afirmación (ii) resulta del hecho de que, si hubiera un entero $k \ge 1$ tal que $x_{k+n} = x_n$ para todo $n \ge 1$, donde $x_n$ denota la $n $-ésima letra de la palabra
\[ \Phi_{\infty} \, = \, x_1x_2x_3\ldots \, = \, x_{k+1}x_{k+2}x_{k+3}\ldots \, = \, x_{2k+1}x_{2k+2}x_{2k+3}\ldots , \]
entonces la proporción de $0$ en $\Phi_{\infty}$ sería racional.

CQFD

Observaciones

(1)
Si queremos elegir una extensión de $\Phi_{\infty}$ ’’a la izquierda’’, es decir, si buscamos una secuencia $\left( x_n \right)_{n \in \bf Z} $ con $ x_n \in \{0,1\}$ para todos los $n \in \bf Z$ ​​​​y $x_n$ la $n$-ésima letra de $\Phi_{\infty}$ para todos los $n \ge 0$, un requisito natural es exigir que la secuencia obtenida siga siendo invariante por $\sigma^2$ (no se puede con $\sigma$). Hay entonces dos soluciones, que se obtienen escribiendo de derecha a izquierda y a la izquierda de $\Phi_{\infty}$, o bien los dígitos de $\lim_{n \to \infty} \sigma^{2n}(0) $, lo que da $ \ldots 1001001010010\Phi_{\infty}$, o bien los dígitos de $\lim_{n \to \infty} \sigma^{2n}(1)$, lo que da $\ldots 0100101001001\Phi_{\infty}$.

(2)
La palabra infinita de Fibonacci $\Phi_{\infty}$ y las palabras del comentario anterior son ejemplos (entre muchos otros) de palabras perfectamente ordenadas (sus definiciones caben en unas pocas líneas) que no son palabras periódicas. En cristalografía matemática, también existen modelos ordenados no periódicos de sistemas de puntos en el espacio, incluidas las famosas teselaciones de Penrose y sus ’’análogos’’ en tres dimensiones. Estos modelos son de estudio relativamente reciente, al menos en comparación con el de las redes, u órbitas en el plano [respectivamente en el espacio tridimensional] de subgrupos de traslaciones de $\bf R^2 $ [respectivamente $\bf R^3$], que son materias obligatorias de estudio en la cristalografía clásica. Los arreglos no periódicos ordenados son modelos para cuasicristales, que son formas particulares de aleaciones metálicas cuyo descubrimiento experimental se remonta a principios de la década de 1980.

Volvamos a la forma (prometida) de ’’encontrar’’ la sucesión de Fibonacci a partir de $\varphi$. Sea $x$ un número real ; supongamos que es irracional y positivo para simplificar la discusión.
Se dice que un número racional $\frac{a}{b}$ (en su forma irreducible) es una aproximación óptima de $x$ si
\[ \left\vert x - \frac{a}{b} \right\vert \, < \, \left\vert x - \frac{c}{d} \right\vert \]
para cualquier número racional $\frac{c}{d}$ tal que $1 \le d \le b$ y $\frac{c}{d} \ne \frac{a}{b}$.
Si enumeramos todas las aproximaciones óptimas de $x$ en orden ascendente de los denominadores, obtenemos una sucesión de números racionales que se acercan cada vez más a $x$. Por ejemplo, para $\sqrt 2$, encontramos :
\[ 1, \frac{3}{2}, \frac{7}{5}, \frac{17}{12}, \frac{41}{29} , \frac{99}{70}, \frac{239}{169}, \frac{577}{408}, \cdots \]
para $\sqrt 7$ se obtiene
\[ 3, \frac{5}{2}, \frac{8}{3}, \frac{37}{14}, \frac{45}{17}, \frac{82}{31}, \frac{127}{48}, \frac{590}{223}, \cdots \]
para $\pi$ obtenemos
\[ 3, \frac{22}{7}, \frac{333}{106}, \frac{355}{113}, \frac{103993}{33102}, \frac{104348}{33215}, \frac{208341}{66317}, \frac{312689}{99532}, \cdots \]
para $e$ conseguimos
\[ 3, \frac{8}{3}, \frac{11}{4}, \frac{19}{7}, \frac{87}{32}, \frac{106}{39}, \frac{193}{71}, \frac{1264}{465}, \cdots \]

Las convenciones con respecto al primer término de estas sucesiones pueden variar según el punto de vista adoptado, o incluso los dos primeros términos si se permitiera que $x$ fuera racional y luego las sucesiones aproximadas fueran finitas. Por ejemplo, el comienzo de la sucesión del número $e$ suele ser $2, 3, \frac{8}{3}, \frac{11}{4}, ...$. De manera similar, la sucesión de la proposición 8 comienza con $\frac{F_3}{F_2}$, y los cocientes $\frac{F_{2}}{F_1}$, $\frac{ F_{ 1}}{F_0}$ no participan en esto.

Proposición 8 : Para el número áureo $\varphi = \frac{1 + \sqrt 5}{2}$, la sucesión de aproximaciones óptimas en el sentido anterior es la sucesión de cuocientes de números de Fibonacci sucesivos, cuyos primeros términos son \[ 2, \frac{3}{2}, \frac{5}{3}, \frac{8}{3}, \frac{13}{8}, \frac{21}{13}, \frac{34}{21}, \frac{55}{34}, \cdots \]

Observación :
Podríamos usar la proposición 8 para dar de nuevo otra definición de los números de Fibonacci : $F_0 = 0$, $F_1 = 1$, $F_2 = 1$, y los siguientes números definidos a partir de aproximaciones sucesivas óptimas de $\varphi$. Tal definición sería quizás defendible desde el estricto punto de vista de la lógica, pero admitimos que sería muy complicada, incluso retorcida...

Mencionemos otro problema, también famoso, en cuya historia los números de Fibonacci jugaron un papel histórico. En agosto de 1900, durante el Segundo Congreso Internacional de Matemáticos en París, David Hilbert enunció una lista de $23$ problemas que consideró importantes y que, de hecho, tuvieron una profunda influencia en las matemáticas del siglo XX. El décimo de estos problemas se refiere a polinomios con coeficientes enteros y sus soluciones en números estrictamente positivos.
Para tal polinomio $P \in \mathbb Z [X_1,...,X_n]$, sea
$V_+(P) = \{ (a_1,...,a_n) \in \mathbb Z_+^n \vert P(a_1,...,a_n) = 0 \}$, donde
$\mathbb Z_+ = \{ a \in \mathbb Z \vert a \ge 1 \}$. El décimo problema pregunta si existe un algoritmo general que, dado $P$ como el anterior, permita decidir en tiempo finito si el conjunto de soluciones $V_+(P)$ es vacío o no.

La respuesta es negativa, como han demostrado Martin Davis, Julia Robinson, Hilary Putnam y Yuri Matiyasevich en una serie de trabajos, el último de los cuales (de Matiyasevich) se publicó en 1970. El punto técnico crucial de la demostración fue encontrar una función $k \longmapsto f(k)$ que sea tanto exponencialmente creciente como diofántica ; este segundo requisito significa que existe un polinomio $P \in \mathbf{Z} [A_1,A_2,X_1,...,X_n]$ en $n+2$ variables tal que, para enteros $k$ y $f $, la ecuación en $n$ variables $P(k,f,X_1,...,X_n) = 0$ tiene solución en los enteros positivos si y solo si $f = f(k)$. Matiyasevich demostró que la función $k \longmapsto F_{2k}$ (= $(2k)$-ésimo número de Fibonacci) funciona. Desde entonces, se han encontrado muchas otras funciones diofánticas con crecimiento exponencial, incluida la función $(k,\ell) \longmapsto k^{\ell}$.

Demostración del Teorema 3.3 de Dav—73.

Uno de los ingredientes principales es un análisis detallado de las soluciones $x,y \in \bf Z_+$ de la ecuación de Pell
\[ x^2 - dy^2 \, = \, 1 \]
donde $d = a^2 - 1$ y $ a > 1$, soluciones que, como demostramos, son los pares $x_n,y_n$ definidos por $x_n + y_n \sqrt{d} = (a + \sqrt{d})^n$, con $n \in \bf Z_+$, por lo que estas soluciones en particular presentan crecimiento exponencial.

Para aprender más sobre este hermoso tema, vea [Dav—73],
[Mat—93] y [Mat—00].

Para los amantes de los ejercicios

La matemática de los números de Fibonacci es inagotable, al menos para algunos investigadores. Aparecen en muchos libros de matemáticas más o menos populares, por ejemplo en [Rib—00].
Hay una revista titulada expresamente The Fibonacci Quarterly, con unas 400 páginas anuales, publicación oficial de The Fibonacci Association.

Como muestra, aquí hay algunos ejercicios para aficionados relacionados con estos números :
— Las sucesivas ediciones de un libro de Vorobiev [Vor—02] aportan muchos otros, variados e interesantes.
— Véase también el muy recomendable libro Matemáticas concretas, [GrKP—89], a partir de la página 285 ; su título, “Matemáticas Concretas”, es, entre otras cosas, un juego de palabras muy apropiado sobre el hecho de que es una mezcla sutil de matemáticas CONtinuas y disCRETAS.

Ejercicio. Demostrar por inducción sobre $k$ las siguientes identidades :
\[ F_{2k+2} = 3 F_{2k} - F_{2k-2} \]
\[ \varphi^k = F_k \varphi + F_{k-1}, \]
\[ F_{k+1}\quad \mathrm{y} \quad F_k \quad \mathrm{son~primos~relativos.} \]
[¡Atención ! Es necesario distinguir la noción de número primo de la noción de primos relativos. ¡En este caso, no hay muchos números de Fibonacci que sean primos ! Más precisamente, entre los enteros $k$ tales que $3 \le k < 1000$, hay exactamente $21$ valores tales que $F_k$ es un número primo :
$F_3 = 2$, $F_4 = 3$, $F_5 = 5$, $F_7 = 13$, $F_{11} = 89$, $F_{17} = 1597$, $\ldots$, $F_{569}$, $F_{571}$.
Ver [Rib—89], página 286.]

Ejercicio. Verificar que
\[ \frac{z}{1 - z - z^2} \, = \, \sum_{n=0}^{\infty} F_n z^n , \]
fórmula que sugiere otra posible definición de los números de Fibonacci. [Para una solución de este ejercicio, ver si es necesario [GrKP—89], fórmula (6.117).]

Ejercicio. Demuestre que todo entero $n \ge 1$ se puede escribir de forma única en la forma
\[ n \, = \, F_{k_1} + F_{k_2} + \cdots + F_{k_r} \]
\[ k_1 \ge k_2 + 2, k_2 \ge k_3 + 2, ..., k_{r-1} \ge k_r + 2 . \]
[Este es el teorema de Zeckendorf ; para leer un poco más sobre este tema, véase el ejemplo 6.6 de [GrKP—89].]

Ejercicio (sugerido al inicio de [Kau—04]).
Se trata de considerar rectángulos planos que se forman a partir de cuadrados particulares, o dicho de otro modo, puzzles cuyas piezas son todas cuadradas, de distintos tamaños de dos en dos (con una excepción, véase más abajo), y que permiten formar un rectángulo.

(i) Verificar la relación
\[ \sum_{k=1}^n F_k^2 \, = \, F_n F_{n+1} . \]
Al principio, podemos, por ejemplo, verificar numéricamente algunos términos más en la secuencia de igualdades
\[ 1^2 + 1^2 \, = \, 1 \times 2 \]
\[ 1^2 + 1^2 + 2^2 \, = \, 2 \times 3 \]
\[ 1^2 + 1^2 + 2^2 + 3^2 \, = \, 3 \times 5 \]
\[ 1^2 + 1^2 + 2^2 + 3^2 + 5^2 \,= \, 5 \times 8 \]
etc.

(ii) Dibujar sucesivamente los siguientes rompecabezas :

  • dos cuadrados de lado $1$ formando un rectángulo de lados $1$ y $2$,
  • tres cuadrados de lados $1, 1, 2$ formando un rectángulo de lados $2$ y $3$,
  • cuatro cuadrados de lados $1, 1, 2, 3$ respectivamente, formando un rectángulo de lados $3$ y $5$,
  • cinco cuadrados de lados $1, 1, 2, 3, 5$ respectivamente, formando un rectángulo de lados $5$ y $8$,
    etc.

Ejercicio (sobre una relación expuesta por Lucas).
Observe que los números de Fibonacci se encuentran como sumas de números ubicados en líneas paralelas de pendiente adecuada que pasan por los puntos del triángulo de Pascal :
\[ \begin{array}{lllllllllllll} &&&&&& 1 &&&&&& \\ &&&&& 1 && 1 &&&&& \\ &&&& 1 && 2 && 1 &&&& \\ &&& 1 && 3 && 3 && 1 &&& \\ && 1 && 4 && 6 && 4 && 1 && \\ & 1 && 5 && 10 && 10 && 5 && 1 & \\ ... && ... && ... && ... && ... && ... && ... \end{array} \]
Más en general (y de manera más ’’técnica’’ ) :
\[ F_{k+1} \, = \, {{k}\choose{0}} + {{k-1}\choose{1}} + {{k-2}\choose{2}} + ... ; \]
por ejemplo :
\[ F_6 \, = \, 8 \, = \, 1 + 4 + 3 \, = \, {{5}\choose{0}} + {{4}\choose{1}} + {{3}\choose{2}} . \]

Ejercicio, inspirado en [S—EIS].
Verificar que :

  • $F_{n+2}$ es el número de secuencias de ceros y unos, de longitud $n$, sin un par de ceros consecutivos (por ejemplo, $F_5 = 5$ ya que estas secuencias para $n=3$ son $111$, $110$, $101$, $011$, $010$) ;
  • $F_{n+2}$ es el número de subconjuntos de $\{1,2,...,n\}$ que no contienen enteros consecutivos (por ejemplo $F_4 = 3$ ya que estos subconjuntos para $n =2$ son $\emptyset$, $\{1\}$, $\{2\}$) ;
  • $F_{n+1}$ es el número de mosaicos de un rectángulo de lados $n$ y $2$ por fichas de dominó de lados $1$ y $2$.

[Para obtener más información sobre el mosaico de rectángulos con fichas de dominó, consulte [GrKP—89], en particular los párrafos 6.6 y 7.1.
No podemos resistir la tentación de recomendar también el párrafo 7.3, donde los autores calculan el número $u_n$ de mosaicos mediante fichas de dominó de un rectángulo de lados $n$ y $3$ (un número que es cero si $n$ es impar) ; para todo $n \ge 1$, el número $u_{2n}$ es el entero más pequeño mayor que $\frac{(2 + \sqrt 3)^n}{3 - \sqrt 3}$.]

Más allá de las matemáticas

La proporción áurea aparece tradicionalmente en la filotaxis, la rama de la botánica que estudia el orden en que se ubican las hojas a lo largo del tallo de una planta, o la disposición de los floretes y escamas en diversas flores y frutos (piña, girasol, ananá, coliflor, etc).
Algunos autores remontan el estudio teórico de estos arreglos a un artículo de 1837 de los hermanos Bravais, siendo uno físico y el otro botánico ; ver por ejemplo : capítulo XIV de [Tho—42] (páginas 912—933), [AGH], [DoCo—96] (y las pocas páginas de introducción a este artículo, páginas 135—143 de [Ste—95]), [JeBa—98] y [Phy]).

Más recientemente, también encontramos que la proporción áurea juega un papel crucial en el trabajo de los físicos sobre los cuasicristales (ver por ejemplo [Riv—86]) o ... de los cardiólogos [ GGM—03].

La proporción áurea también ha nutrido los análisis, la imaginación y las fantasías de diversos autores interesados ​​en (la historia del) arte, la arquitectura o las proporciones del cuerpo humano (estatuas y seres vivos). El resultado ha sido una inmensa literatura abundante en profusión. Lo que encontramos allí va desde comentarios esclarecedores hasta rumores tan duros como fantasiosos ; parece, por ejemplo, que cualquier ’’descubrimiento’’ de la proporción áurea en las proporciones del Partenón requiere ceguera intelectual, incluso engaño militante. Detalles, por ejemplo, en [Del—04].

Hay una noción de número áureo en astronomía, que ’’no tiene nada que ver’’ con la noción discutida anteriormente. Cada año tiene su número áureo, que es un número entero entre $1$ y $19$, y que permite ubicar los meses lunares en relación con el calendario habitual. Resulta que un periodo de $19$ años es una buena aproximación de un número entero de meses lunares, más precisamente 19 años = 235 meses lunares = 6940 días según el calendario del ciclo metónico introducido en Atenas en el 432 a.C. y conocido en Babilonia alrededor del 490 a.C. El número áureo del año 2008 fue $14$, y el del 2009 fue $15$ [Wik].

Pero por supuesto, siempre es peligroso pretender que dos cosas ’’no tienen nada que ver’’ entre sí, ya que la relación (1) aparece en un artículo (ya citado) [Ser—85] que aboga por un punto de vista geométrico sobre la aproximación de números irracionales por números racionales.

Bibliografía

Algunas de las referencias a continuación son textos de divulgación : [CoGu—98], [Del—04], [Gar—77, [Penx], [Phy], [Ste—95] y [Wik].
Las otras referencias son de nivel más avanzado.

[AGH] P. Atela, C. Godé et S. Hotton : A dynamical system for plant pattern formation : a rigorous analysis, J. Nonlinear Sci., 12, 2002, 641—676

[AlSh—03] J.-P. Allouche et J. Shallit : Automatic sequences, Cambridge University Press

[ArGS] P. Arnoux, S. Giabicani et A. Siegel : Dynamique du nombre d’or, en préparation

[Cas—65] J.W.S. Cassels : Introduction to Diophantine approximation, Cambridge University Press, 1965

[CoGu—98] J.H. Conway et R.K. Guy : Le livre des nombres, Eyrolles, 1998

[Cox—69] H.S.M. Coxeter : Introduction to geometry, second edition, John Wiley, 1969 (chap. 11, pages 160-172)

[CuFl—89] T.W. Cusick et M.E. Flahive : The Markoff and Lagrange spectra, Mathematical Surveys and Monographs 30, Amer. Math. Soc., 1989

[Dav—73] M. Davis : Hilbert’s tenth problem is unsolvable, The American Mathematical Monthly, 80:3, March 1973, 233-269

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[DoCo—96] R. Douady et Y. Couder : Phyllotaxis as a self organizing iterative process, Parts I & II, J. Theor. Biol., 178, 1996, 255—294

[Eul—37] L. Euler : De fractionibus continuis dissertatio, Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae, 9, 1737, 98-137 (Opera omnia, series 1, volume 14, pages 187—215)

[Eul—65] L. Euler : Observationes analyticae, Novi commentarii academiae scientiarum Petropolitanae, 11, 1765, 124—143 (Opera omnia, series 1, volume 15, pages 50—69)

[GGM—03] C.M. Gibson, W.J. Gibson, S.A. Murphy et autre auteurs : Association of the Fibonacci cascade with the distribution of coronary artery lesions responsible for ST-segement elevation myocardial infarction, The American Journal of Cardiology, 92, September 1, 2003, 595—597

[Gar—77] M. Gardner : Extraordinary nonperiodic tiling that enriches the theory of tiles, Scientific American, December 1977, 110—121 (réimpression sous le titre Penrose tiles, in « The colossal book of mathematics, classic puzzles, paradoxes, and problems » , W.W. Norton & Company (2001) pages 73—93)

[GrKP—89] R.L. Graham, D.E. Knuth et O. Patashnik : Concrete mathematics, Addison—Wesley, 1989

[HaWr—79] G.H. Hardy et E.M. Wright : An introduction to the theory of numbers, Fifth Edition, Oxford, Clarendon Press, 1979

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[JeBa—98] R.V. Jean et D. Barabé (éditeurs) : Symmetry in plants, World Scientific, 1998

[Kau—04] L. Kauffman : Fibonacci form and beyond, Forma, 19:4, 2004, 315—334. Voir aussi arXiv:math/0405048v1

[Lev—56] W.J. LeVeque : Topics in number theory, Volume I, Addison—Wesley, 1956

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[OsWa] A. Ostermann et G. Wanner : Geometry by its history, Springer, à paraître

[Pen] Pavage de Penrose

[Pen2] Penrose tilings

[Pen3] E. Hwang Penrose tilings and quasicrystals

[Phy] Phyllotaxis

[Rib—89] P. Ribenboim : The book of prime number records, Second Edition, Springer, 1989

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[Ser—85] C. Series : The geometry of Markoff numbers, The Mathematical Intelligencer, 7:3, 1985, 20—29

[Ste—95] I. Stewart : Nature’s numbers, the unreal reality of mathematics, BasicBooks, 1995

[Tho—42] D’Arcy W. Thompson : Growth and form, Second Edition reprinted, Cambridge University Press, 1942

[Vor—02] N. Vorobiev : Fibonacci numbers, Birkhaüser, 2002 [voir aussi, par exemple, la seconde partie de Caractères de divisibilité. Suite de Fibonacci, Traduction française, Editions Mir (1973)]

[Wik] Wikipedia : Nombre d’or (astronomie)

Post-scriptum :

Agradezco a Jean-Paul Allouche muchas referencias y comentarios útiles.

Inmediatamente después de escribir este texto, descubrí [ArGS], que contiene (entre otras cosas) desarrollos sustanciales de varios puntos discutidos anteriormente.

Article original édité par Étienne Ghys

Notes

[1Un fib es un poema de 6 versos compuesto de 20 sílabas en total : los 6 versos tienen, respectivamente, 1, 1, 2, 3, 5 y 8 sílabas. Wikipédia menciona la existencia de fibs en sánscrito que se remontan a más de 2000 años. Un sitio sobre los fibs al estilo Fibonacci es el de Marc Lebel.

[2Por supuesto, hay otras definiciones posibles : por ejemplo $\pi$ es la relación entre el área de un disco y el cuadrado de su radio.

[3Tampoco nadie sabe mostrar si, entre los dígitos que aparecen como decimales de $\pi$ (o de $e$), la proporción de $0$ (o de $1$, . . ., o $9$) es de hecho $10 \%$.
Sería fácil multiplicar preguntas de teoría de números que son muy simples de formular y cuya respuesta nadie sabe ; de lo contrario es difícil formular ’’las preguntas correctas’’.

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Pour citer cet article :

Andrés Navas, Edgard Araya, Pilar Garcés — «El número áureo en matemáticas» — Images des Mathématiques, CNRS, 2009

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