El Número de Oro

Le 23 mars 2013  - Ecrit par  Fernando Corbalán
Le 7 mai 2019  - Traduit par  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
Article original : Le Nombre d’or Voir les commentaires
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El Instituto Henri Poincaré e Images des Mathématiques han unido sus esfuerzos para supervisar la reedición de la colección El mundo es matemático, publicada por RBA en convenio con Le Monde. En 40 obras, esta colección de calidad -resultado de un proyecto colectivo de matemáticos españoles- aspira a presentar, a través de una gran variedad de puntos de vista, de múltiples facetas, las ciencias matemáticas bajo un aspecto histórico, humano, social, técnico, cultural...
Revisado y mejorado al nivel de la forma, esta nueva edición fue completamente leída y corregida por el equipo de Images des Mathématiques. Fueron agregados prefacios y listas bibliográficas. Le Monde dedica un suplemento especial para el lanzamiento de esta colección, presentada por Cédric Villani, quien escribió el prefacio original.
Cada semana, con la salida de un nuevo número de la serie, un extracto seleccionado será presentado en Images des Mathématiques. Será acompañado por el índice del libro y una invitación a prolongar su lectura.

Extracto del Capítulo 1

"las cosas que están dotadas
de proporciones correctas alegran los sentidos".

Santo Tomás de Aquino (1225-1274)

¿Qué pueden tener en común fenómenos naturales tan diferentes como la distribución de granos de una flor de girasol, la elegante espiral dibujada en la concha de ciertos moluscos y los brazos de la Vía Láctea, la galaxia que nos acoge ? ¿Qué regla geométrica de una inigualable armonía se esconde en la obra de grandes artistas y arquitectos, desde Vitrubio hasta Le Corbusier, pasando por Da Vinci y Salvador Dalí ? Por increíble que parezca, la respuesta a esas dos preguntas es un simple número. Un número de humilde apariencia, conocido desde la Antigüedad, que aparece continuamente en todas las representaciones naturales y artísticas, lo que le ha valido denominaciones como ’’divina proporción’’, ’’número de oro’’ o incluso ’’proporción áurea’’. Reproducir etse número por escrito es literalmente imposible, no porque sea excesivamente grande (es menor que 2) sino porque está compuesto por un número infinito de decimales, que por añadidura no siguen ninguna regla. Pese a desechar su retranscripción literal, podemos ayudarnos con su fórmula aritmética para conocerlo mejor. El número de oro se vuelve así bastante más manejable :

\[ \frac{1+\sqrt{5}}{2} \simeq 1,6180339887. \]

Más adelante en este mismo capítulo, veremos cómo llegar a esta fórmula, pero reconozcamos no obstante que, a primera vista la ’’divina proporción’’ no parece demasiado impresionante. Al ver la raíz de 5, un ojo entrenado sabría que hay gato encerrado. En efecto, esta raíz presenta una serie de propiedades que le valieron el poco amable calificativo de número ’’irracional’’, una clase especial de números sobre los cuales tendremos la ocasión de volver a hablar.
En la búsqueda del carácter divino del número de oro, podemos intentar acercarnos por otro camino : el de la geometría. Para eso necesitamos dibujar un rectángulo cuya medida del lado mayor vale la del lado menor multiplicado por 1,618 ; es decir, un rectángulo cuya proporción de ambos lados es el número de oro (al menos su valor aproximado). Si lo hacemos correctamente, deberíamos llegar a un resultado similar al siguiente :

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Un rectángulo que responda a esas caracterítisticas sería un ’’rectángulo de oro’’. A primera vista, puede parecer un rectángulo común. Hagamos sin embargo un pequeño experimento con dos tarjetas de crédito cualesquiera. Si colocamos la primera en forma horizontal y la segunda en vertical, y las alineamos según sus bases, tendremos esto :

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En efecto, si trazamos la diagonal de la primera tarjeta y la prolongamos sobre la segunda, por increíble que parezca, llega justo al vértice opuesto de esta última. Si repetimos el experimento con dos libros del mismo formato, en especial manuales o libros de bolsillo, es muy probable que obtengamos el mismo resultado. Esta característica es propia de los rectángulos de oro del mismo tamaño.

Así, numerosos objetos de forma rectangular que están en nuestra vida cotidiana han sido diseñados en función de la divina proporción. ¿Simple casualidad ? Puede ser. A menos que los rectángulos y las otras formas geométricas que respetan esta proporción no sean, por una u otra razón, particularmente armoniosos. Si nos ponemos en esta última posibilidad, seremos llevados a frecuentar nombres ilustres de la pintura y la arquitectura, como lo veremos más en detalle en el capítulo 4. No es una casualidad que la denominación moderna del número de oro sea la letra griega fi ($\phi$) : es también la inicial del nombre del arquitecto clásico por excelencia, el legendario Fidias.

Un mundo dorado

La tinta ha corrido abundantemente para levantar el velo sobre el misterio que esconde la sonrisa más famosa de la historia del arte. Pero se puede también proyectar una solución geométrica al enigma. Veamos lo que sucedería si superponemos rectángulos de oro sobre el rostro de la bella Gioconda :

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¿Tenía Leonardo da Vinci en su cabeza la proporción de oro cuando realizó su obra maestra ? Afirmarlo sería aventurado. Sería menos arriesgado contentarse con decir que el genio florentino le daba una gran importancia a la relación entre la estética y las matemáticas. Dejaremos esta pregunta de lado por el momento. Pero precisamos, sin embargo, que Leonardo realizó las ilustraciones de una obra de contenido puramente matemático, escrito por su amigo Luca Pacioli y titulado De divina proportione, o sea, La Divina Proporción.

Hoy en día, De Vinci no es el único artista cuya obra deja entrever las diversas manifestaciones de la proporción áurea, ya sea a través de la relación entre los lados de un rectángulo o en las formas geométricas más complejas. Numerosos pintores han recurrido después de él a esos fundamentos teóricos. Lo testimonian el puntillista Georges Seurat o el prerrafaelista Edward Burne-Jones. Salvador Dalí, por su parte, realizó su tela La Cena, una obra extraordinaria en la cual la divina proporción juega un gran papel. No se trata solamente de las dimensiones de la tela, $268$ por $167$ cm, es decir un rectángulo de oro casi perfecto, sino sobre todo del monumental dodecaedro que preside la escena sagrada. Los sólidos regulares que allí se inscriben perfectamente en una esfera, están íntimamente ligados al número de oro, como lo veremos en el tercer capítulo.

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La tela Un baño en Asnières (1884) de Georges Seurat es un rectángulo áureo. Ciertos elementos que lo forman están por sí mismos encerrados en rectángulos áureos, como lo muestran las líneas blancas de arriba.

Interesémonos ahora en la disciplina reina de las artes aplicadas, la arquitectura. Si no hay ninguna duda de que la proporción de oro encubre una noción de armonía de carácter universal, deberíamos también descubrirla en los trazados geométricos subyacentes en los edificios y construcciones. ¿Es así ? Una vez más, es arriesgado afirmarlo de manera categórica. Tal como a una dama coqueta le agrada ocultar sus encantos, la relación de oro deja sentir su presencia en muchas de las grandes obras arquitectónicas de todas las épocas —como la Gran Pirámide o algunas de las catedrales francesas entre las más notables— pero sin revelarse totalmente. No obstante, es difícil quedarse escéptico ante el detallado examen de la fachada de la mayor obra de Fidias : el Partenón. Uno descubre con maravilla que los diversos elementos que la componen se dan a conocer en tantos rectángulos de oro.

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El secreto de las rosas

La elección del número de oro como patrón de medida de un modelo ideal de belleza no es únicamente un capricho humano. Incluso la naturaleza parece conferir a $\phi$ un rol especial cuando se trata de ’’elegir’’ una forma más que otra. Para darse cuenta de ello, es necesario profundizar un poco más en las propiedades del número de oro. Tomemos nuestro rectángulo de oro como punto de partida. Saquemos un cuadrado cuyo lado es igual a la anchura del rectángulo. Obtendremos así un nuevo rectángulo de oro, de tamaño más pequeño. Si repetimos el proceso varias veces, obtendremos la siguiente figura :

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Tracemos ahora dos cuartos de círculo cuyo radio es igual al costado de cada uno de los cuadrados de la figura anterior, con su vértice respectivo como centro. Tendremos así la figura siguiente :

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Esta curva sinuosa es una buena aproximación a una curva llamada espiral logarítmica. Lejos de ser una simple curiosidad matemática, puede observarse muy fácilmente en nuestro ambiente, (incluso si no todas están vinculadas con el número de oro) desde la concha de un caracol...

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... hasta la forma de los brazos de las galaxias...

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Sommaire du livre

Para profundizar más

Aquí hay algunos artículos sobre este tema :

Post-scriptum :

El extracto propuesto fue elegido por el autor del prefacio del libro Etienne Ghys. Él responderá los eventuales comentarios.

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Pour citer cet article :

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «El Número de Oro» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

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