Extracto del Capítulo 2 - Las Dimensiones de la Tierra

Los cálculos de Erastótenes

La medida del diámetro de la Tierra más famosa de la Antigüedad se debe a Erastótenes de Cirene (nacido cerca de 276 a.C.– muerto cerca de 194 a.C.), quien fue director de la biblioteca de Alejandría durante 45 años, hasta su muerte. Para lograr su propósito, él efectuó una doble medición, la del ángulo y de la longitud, de un arco de meridiano que pasa por Alejandría. Según sus cálculos, el meridiano entero medía 250 000 estadios, lo que -como veremos después- era una estimación notable. Sus trabajos fueron relatados por el astrónomo griego Cleómedes (nacido cerca de 10 d.C.– muerto hacia 70 d.C.) y por otros autores clásicos (Herón, Estrabón, Plinio, Vitruvio…). Son numerosas las teorías científicas derivadas de obras fundamentales de la Grecia antigua que se han perdido irremediablemente al filo de los siglos, y que nos han llegado de manera indirecta a través de las obras de otros autores clásicos. Ellos han sido, pese a todo, retransmisores esenciales de ese saber desaparecido.

El método de Erastótenes consideraba que la Tierra es esférica y que los rayos del sol son palalelos cuando caen sobre la superficie terrestre, teniendo en cuenta la enorme distancia que separa al astro de la Tierra. Además, partía del principio que las ciudades que le sirvieron de referencia, Alejandría y Siena (la actual Asuán), estaban situadas sobre el meridiano (el mismo que él eligió medir).

Según Erastótenes, la distancia que separaba Siena de Alejandría era de 5 000 estadios, lo que permitió determinar la longitud del arco de meridiano. La leyenda cuenta que él calculó esta distancia por el relato de los guías de caravana que le habían dicho que sus camellos -que recorrían cerca de 100 estadios por día- necesitaban 50 días para hacer el viaje entre Siena y Alejandría. Sin embargo, lo más probable es que haya descubierto este dato en los libros de su biblioteca, encontrando la confirmación de sus cálculos entre los relatos de las caravanas o de soldados del ejército egipcio.

Además, el sabio tomó en cuenta la ubicación de Siena sobre el trópico de Cáncer, donde los rayos del sol caían verticalmente sobre la ciudad al mediodía del solsticio de verano (hacia el 21 de junio), sin importar que ese fenómeno podía verificarse fácilmente observando la luz reflejada en el fondo de un pozo de gran profundidad.

Esquema que muestra las posiciones de Alejandría y de Siena y la incidencia de los rayos solares durante el solsticio, el cual permitió a Eratóstenes medir el diámetro de la Tierra.

Eratóstenes utilizó también un gnomon para calcular el ángulo del arco de meridiano desde Alejandría. Un gnomon es la forma más simple del reloj solar: una vara plantada verticalmente sobre una superficie horizontal. Se dice que Erastótenes no usó un simple gnomon compuesto por un palo, sino un gran obelisco.

Erastótenes utilizó un gnomon para medir el ángulo $\alpha$ entre la inclinación del sol y la vertical a mediodía durante el solsticio de verano. Este ángulo equivalía, según sus cálculos, a 1/50 de la circunferencia, es decir $\alpha = 360º / 50 = 7,2º$. Y ya que en ese mismo instante los rayos del sol caían verticalmente sobre la ciudad de Siena, el ángulo del arco de meridiano entre Alejandría y esta misma ciudad de Siena es exactamente igual a $\alpha$, o sea 7,2º.

Al mediodía del día del solsticio de verano, los rayos del Sol caían verticalmente sobre Siena y se reflejaban en el fondo de un pozo, mientras que en Alejandría formaban un ángulo de 7,2º respecto a la vertical, por ejemplo, de un obelisco.

Una simple demostración permite entonces afirmar que si el arco de meridiano tiene una longitud de 5 000 estadios para un ángulo de 7,2°, entonces la circunferencia completa, es decir 360°, tendrá una longitud de :

\[\frac{360°}{7,2°} \times 5000 = 50 \times5000 = 225 000 \text{ estadios}\]

Parece que Erastótenes había efectuado muchos cálculos antes de llegar a una estimación final de 225 000 estadios. Su método brilla por su simplicidad y eficacia en la medida en que aún puede ser aplicada en nuestros días. El problema que tenemos sería la conversión de estadios a metros, unidad de medida actualmente en vigencia. El valor unitario del estadio variaba en la época del sabio griego, lo que hoy en día deja como aproximativa la conversión en metros, ya que no se sabe exactamente sobre cuál valor se apoyó Erastótenes.

Si tomamos en cuenta el valor del estadio egipcio, que es de 157,5 m, la estimación del matemático griego es de 39 690 km, una cifra muy cercana a los 40 030,2 km, calculados por el sistema geodésico WGS 84, que mide el perímetro de la Tierra basándose en un modelo esférico.

Aunque las estimaciones de Erastótenes se revelan hoy en día ligeramente incorrectas, uno se da cuenta que la medición efectuada en su época es muy cercana a la realidad. En efecto, Siena y Alejandría no están exactamente sobre el mismo meridiano, las técnicas de medición de distancia entre las dos ciudades no podían en su época garantizar una perfecta exactitud, y finalmente, el gnomon no podía calcular de manera exacta el ángulo entre los rayos el sol y la vertical...

Sumario del libro.

Para profundizar más

• Geometría, medir la tierra, ¿medir la Tierra? ( piste verte).

• Buscar el mediodía ¡a las doce y cuarto! (piste bleue).

• Geometrizar el espacio : de Gauss a Perelman (piste rouge)

• Représenter les mondes (piste rouge)

• Triangulations : de la terre au nœud de trèfle. (piste rouge)