Euler y los chorros de agua de Sans-Souci

Le 15 mars 2013  - Ecrit par  Pierre Pansu
Le 9 novembre 2020  - Traduit par  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
Article original : Euler et les jets d’eau de Sans-Souci Voir les commentaires
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Para la segunda conferencia del ciclo « Un texto, un matemático », el 13 de febrero de 2013, Yann Brenier eligió el texto en francés, datado en 1757, donde Leonard Euler establece las ecuaciones que gobiernan los movimientos de los fluídos incompresibles.

A Euler (1707-1783) se le atribuye la fórmula $e^{i\pi}+1=0$, la función zeta y su expresión como producto que hace intervenir los números primos, el problema de los puentes de Königsberg, la identidad $S-A+F=2$ para los poliedros... Nada de lo matemático le era extraño, lo que le hizo decir a Condorcet : ’’Este método de abrazar así todas las ramas de las matemáticas, de tener —por así decirlo— siempre presente en la mente todos los asuntos y todas las teorías, era para el Sr. Euler una fuente de descubrimiento cerrada casi para todos los demás, abierta solo para él.’’

Nacido en Bâle, Euler partió a San Petersburgo en 1727. En 1741, el rey Federico II de Prusia le invita a unirse a su academia. Euler se instala en Berlín por 25 años. Ya había adquirido una sólida reputación como ingeniero hidráulico cuando Federico II le pide en 1749 un peritaje al dispositivo de suministro de los futuros chorros de agua de su castillo de Sans-Souci. El informe de Euler, entregado el 17 de octubre de 1749, es negativo : ’’Ya que en el pie en el cual se encuentran actualmente, es muy claro que no subirá nunca una gota de agua hasta el depósito, y toda la fuerza utilizada sería solo para la destrucción de la máquina y de las tuberías.’’ Esto no impedirá que Federico II escriba a Voltaire, el 25 de enero de 1778 : ’’Los ingleses han construido naves con la sección más ventajosa que Newton había indicado, y sus almirantes me han asegurado que esas naves eran mucho menos buenos veleros que los que son fabricados según las reglas de la experiencia. Yo quería hacer un chorro de agua en mi jardín ; Euler calculó el esfuerzo de las ruedas para hacer subir el agua a una cuenca, de donde debía caer de nuevo por canales, con el fin de brotar en Sans-Souci. Mi molino ha sido ejecutado geométricamente y no ha podido elevar una gota de agua, a cincuenta pasos de la cuenca. ¡Vanidad de vanidades, vanidad de la geometría !’’ ¡Qué poca fe !

Las preocupaciones del rey de Prusia ¿alimentaron la reflexión de Euler acerca de la hidrodinámica ? Es unos años más tarde cuando Euler discurre en el sistema de las ecuaciones en derivadas parciales que gobiernan los movimientos de los fluidos incompresibles, como el agua por ejemplo. Él lo formula de una manera que nos parece asombrosamente familiar. No hay nada de sorprendente en esto. La mayoría de las notaciones que utilizamos en análisis fueron estrenadas o popularizadas por Euler. 250 años después, esas ecuaciones siguen de actualidad (son pertinentes en especial para el estudio de las corrientes oceánicas. A este respecto vea la fascinante película realizada por la NASA). Todavía son misteriosas. Es una broma que Euler nos jugó.

En 1966, Vladimir Arnold dio una interpretación geométrica de las ecuaciones de Euler. Para comprenderla hay que tratar de imaginar un inmenso objeto, el conjunto de transformaciones del espacio que conservan los volúmenes. ¿Por qué ? El movimiento de un fluido entre dos momentos se traduce en una transformación espacial (la molécula que al principio se encontraba aquí, a su llegada está allá). La incompresibilidad del fluido supone que esta transformación envía toda región a otra región de igual volumen. Hay una cantidad enorme de tales transformaciones (un conjunto de dimensión infinita). Sin embargo, hay que pensar ahora cada transformación como un punto en el espacio. La condición de conservar los volúmenes es una ecuación, como el hecho de quedar a distancia 1 del origen. El conjunto de transformaciones que preserva el volumen es el análogo a una esfera. Un movimiento fluido es el análogo a una curva trazada sobre esta esfera. Arnold afirma que las soluciones de las ecuaciones de Euler corresponden a las geodésicas, esto es, a las curvas que realizan el camino más corto entre sus extremos. Sobre la esfera, las geodésicas son los arcos de grandes círculos, son las trayectorias efectivamente seguidas por los vuelos aéreos de larga distancia.

Brenier no pudo privarse de abordar su enfoque personal de las ecuaciones de Euler. Él se apoderó de la interpretación de Arnold y estudió una aproximación de granularidad finita, una especie de pixelación, a semejanza de las imágenes de la NASA. Para ilustrar el objetivo, él pasa de dos dimensiones (superficie del océano) a una sola. El fluido es reemplazado por una serie de cajas dispuestas en línea. Un movimiento fluido se transforma en una secuencia de permutaciones de cajas. Cada permutación está asociada a un costo (suma de los cuadrados de las distancias a las cuales cada cubo es desplazado). Dada una permutación, se trata de encontrar el camino (secuencia de permutaciones) más económico, cuya resultante es la permutación dada. El problema puede ser resuelto por un algoritmo rápido (en dimensión 1 espacial). En efecto, la tarea se descompone en una serie de problemas más simples, llamados de afectación. Uno encuentra este problema en economía : una empresa con $N$ agentes y $N$ tareas. Hacer que la tarea $i$ la realice el agente $j$ tiene un costo $C(i,j)$. Se trata de encontrar la mejor afectación, esto es, la permutación que minimice el costo total. Leonid Kantorovitch (1912-1966), único Premio Nobel de Economía de la URSS, hizo el vínculo entre afectación y programación lineal, lo que ha tenido un considerable impacto en la economía matemática. Cuando $C(i,j)=|j-i|^2$ es el cuadrado de la distancia a lo largo de una recta, un algoritmo de tri permite una resolución tan rápida del problema de afectación que uno puede servirse de él para simular de manera convincente las ecuaciones de Euler unidimensionales.

La versión continua del problema de afectación ha sido tratado por Gaspard Monge, en una memoria acerca de los desmontes y rellenos en 1780 (posterior a Euler). Ese tema se llama hoy en día transporte óptimo, sobre el cual Cédric Villani ha escrito dos grandes libros. Más simple que la teoría de fluidos, la del transporte óptimo ya tiene muchas aplicaciones en las matemáticas. Esto abre la puerta a futuras aplicaciones de las ecuaciones de Euler en matemáticas, más allá del campo —ya muy rico— de los fluidos.

En esta buena conferencia, Brenier, sin duda un poco sordo, le dio razón a Goethe :

« Los matemáticos son como los franceses : lo que sea que usted les diga, lo traducen en su propio lenguaje y lo transforman en cualquier cosa totalmente distinta. »

En la hidrodinámica de Euler creyó escuchar las palabras geodésica, afectación, terraplén, transporte...

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Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «Euler y los chorros de agua de Sans-Souci» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

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