Un desafío por semana

Febrero 2014, cuarto desafío

Le 28 février 2014  - Ecrit par  Ana Rechtman
Le 22 février 2014
Article original : Février 2014, 4ème défi Voir les commentaires
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Les proponemos un desafío del calendario matemático 2014. Su solución aparecerá cuando se publique el siguiente desafío.

Semana 9 :

Sea $p=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot \ldots$ el producto de todos los números primos inferiores o iguales a $2014$ y $q=3\cdot 5\cdot 7\cdot 9\cdot\ldots$ el producto de todos los números impares inferiores o iguales a $2013$. ¿Cuál es la cifra de las decenas del producto $pq$ ?

Solución del tercer desafío de febrero

Enunciado

La respuesta es $120^\circ$.

Supongamos que las aristas del cubo miden $2$. Observamos primero que, utilizando el teorema de Pitágoras, en el triángulo $LAM$ se obtiene $LM=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$. Sea $O$ el punto medio de la arista del cubo, como lo muestra la figura. Se tiene entonces $LM=MN=LO=\sqrt{2}$ , y $NOL$ es un triángulo rectángulo con un ángulo recto en $O$. Utilizando el teorema de Pitágoras por segunda vez, se obtiene \[NL=\sqrt{LO^2+NO^2}=\sqrt{2+4}=\sqrt 6.\]

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Por lo tanto, el triángulo $LMN$ es tal que $LM=MN=\sqrt{2}$ y $NL=\sqrt{6}$ . Sea $x$ la medida del ángulo $LMN$. Utilizando la ley de los cosenos, se tiene entonces

\[NL^2 = LM^2+MN^2-2LM\cdot MN \cos x,\]

\[6 = 2+2-2(\sqrt 2)(\sqrt 2) \cos x,\]

\[2 = -4\cos x,\]

\[\cos x = -\frac{1}{2} .\]

Si se examina un triángulo equilátero, se puede ver que $\cos 60^\circ=\frac{1}{2}$ , por lo tanto $\cos x=-\cos 60^\circ=\cos 120^\circ$. En consecuencia, el ángulo $LMN$ mide $120^\circ$.

Post-scriptum :

Calendario Matemático 2014 - Bajo la dirección de Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textos : Étienne Ghys - Ilustraciones : Jos Leys.
2013, Googol, Presses universitaires de Strasbourg. Todos los derechos reservados.

Article original édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

— «Febrero 2014, cuarto desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2014

Crédits image :

Image à la une - ’’Las curvas de Jordan’’, por Jos Leys

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