Física y números reales

¿Por qué necesitamos de los números reales para hacer física ?

Le 17 février 2010  - Ecrit par  Jean-François Colonna
Le 12 août 2020  - Traduit par  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
Article original : Physique et nombres réels Voir les commentaires
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Las mediciones en física son aproximadas y en las escalas microscópicas nuestro Universo parece cuantificado. Entonces ¿para qué sirve la precisión infinita que nos ofrecen los números reales ? Además, no pueden ser representados en nuestros computadores. Olvidar esto puede conducir a problemas insalvables.

INTRODUCCIÓN

El objetivo de la física es describir los mecanismos del Universo en todas las escalas. Sí, ¿pero cómo ?

Demos algunos órdenes de magnitud : el radio del Universo visible es del orden de $4,6.10^{10}$ años-luz (no confundir con su edad de $1,37.10^{10}$ años y sin olvidar su expansión). Un año-luz vale alrededor de $9,5.10^{15}$ metros y la longitud de Planck (límite más allá del cual los efectos de la gravitación se vuelven tan importantes como los efectos cuánticos) vale $1,6.10^{-35}$ metros. Esta es considerada por algunos como un límite de igual naturaleza que la velocidad de la luz.

Entonces, tomando la longitud de Planck como unidad de longitud, el radio del Universo visible es del orden de $2,7.10^{61}$. De este modo, limitándose a la medición de las distancias, se necesitan menos de setenta cifras decimales. ¿Para qué sirven, por lo tanto, los números reales y la precisión infinita que permiten ? ¿Son los números de la naturaleza ?

La primera respuesta que parece asomarse a la mente es la de la irracionalidad de algunas construcciones (eventualmente elementales) : por ejemplo, la de la longitud de la diagonal de un cuadrado de lado unidad. Pero esta medida ¿tiene un sentido físico (aquí no se trata de hacer ’’matemáticas puras’’) ? Parecería entonces que la respuesta viene de la necesidad de pasar de representaciones discretas a representaciones continuas, y eso con el fin de hacer cálculos (por ejemplo, necesarios para predecir nuevos fenómenos) imposibles de realizar de otra manera.

Comentemos a la pasada que pueden plantearse otras preguntas, de apariencia anodina a veces : ¿cuál es la distancia entre dos puntos y cómo se mide ?

Dados tres puntos $A$, $B$ y $C$ alineados en este orden, para los cuales son conocidas las dos distancias $d(A,B)$ y $d(B,C)$, ¿cuánto vale $d(A,C)$ ?

¿Cómo calcular el producto de dos distancias (que representan, por ejemplo, un área) ?

Lo infinitamente grande (singularidades del espacio-tiempo, o incluso densidad de energía en el ’’momento’’ del Big Bang) y lo infinitamente pequeño (en el sentido matemático de ambos términos), ¿existen ’’en la naturaleza’’ ? (la primera pregunta se plantea actualmente en el marco de investigaciones conducidas sobre la gravitación cuántica), ¿o los puntos mencionados son puntos pertenecientes al espacio físico y no a espacios abstractos y matemáticos ?

EL PASO AL LÍMITE

Para comprender esto, tomemos el ejemplo simple de la ecuación del calor en un medio unidimensional. Sea $T(x,t)$ la temperatura en el punto de abcisa $x$ y en el instante $t$. Designemos por $D_x$ un intervalo de espacio suficientemente pequeño para que la temperatura sea constante ahí. Designemos además por $D_t$ una duración, también suficientemente pequeña, para que se pueda escribir la relación de proporcionalidad siguiente :

\[\frac{T(x,t+D_t)-T(x,t)}{D_t}=k^2 \frac{\text{grad}(T(x+D_x,t))-\text{grad}(T(x,t))}{D_x}.\]

Esta fórmula no tiene ninguna utilidad práctica. Para obtener algo es necesario recurrir al cálculo diferencial : este pide por lo tanto un ’’paso al límite’’ que se obtiene haciendo tender hacia 0 las ’’cantidades’’ anteriores $D_x$ y $D_t$. Esto da la ecuación del calor :

\[\frac{\text{d}T(x,t)}{\text{d}t}=k^2 \text{div(grad)}(T(x,t)).\]

Se imponen algunos comentarios entonces :

  • la temperatura es una noción macroscópica. ¿Qué sentido físico tiene, por lo tanto, considerar la función $T(x,t)$ para ’’volúmenes’’ $D_x$ muy pequeños ?
  • ya que se trata de un problema físico del todo clásico, cuando $D_x$ tiende hacia 0, este último necesariamente va a hacernos pasar al universo cuántico, luego va a acercarse a la longitud de Planck, ahí donde la gravitación ya no puede ser ignorada. ¿Qué ocurre entonces ?, ¿qué sentido físico tiene este paso al límite ?, ¿cómo es posible que un proceso que sale de su campo de validez dé nacimiento a una ecuación que da toda ’’satisfacción’’ ? Notemos a la pasada que (incluso si de nuevo el ejemplo anterior no pertenece a la mecánica cuántica) las relaciones de incertidumbre de Heisenberg prácticamente prohiben valores infinitamente precisos, por ejemplo, para la velocidad y la posición de una partícula. Pese a esto, las cantidades infinitesimales relativas a estas se encuentran en las ecuaciones de la física (ecuaciones diferenciales y en derivadas parciales).

A pesar de estas observaciones y preguntas dejadas (provisoriamente...) sin respuesta, la ecuación del calor así obtenida parece ser un buen modelo clásico de este fenómeno. Hay por lo tanto ahí una justificación a posteriori del paso al límite, ¡pero nada viene a demostrar la validez a priori ! Una verdadera paradoja...

ALGUNAS CONSECUENCIAS

De este modo, los números reales parecen inevitables. Desgraciadamente, el estudio de las ecuaciones de la física matemática no puede hacerse, en toda generalidad, sin recurrir a los computadores. Por definición, esas máquinas manipulan solo informaciones cuantificadas y finitas. Los números reales no pueden, por lo tanto, ser ni memorizados ni manipulados en toda generalidad. Conviene notar a la pasada que ciertas constantes de la naturaleza son conocidas con una gran precisión, actualmente vecina de aquella de los números flotantes de doble precisión (64 bits) de nuestros computadores.
Sus cifras menos significativas corren, por lo tanto, el riesgo de ser ignoradas por nuestras máquinas... Es, por ejemplo, el caso de la constante de Rydberg que aparece en la espectroscopía de un átomo de núcleo de masa infinita : su valor dado por el NIST (National Institute of Standards and Technology) de EEUU es de $10973731,568525(73) \text{m}^{-1}$.

En el caso de que el infinito (los infinitos...) no existieran en el Universo, ¿no se podría pasar por alto los números reales en física matemática ? (evidentemente esta pregunta está planteada sin olvidar, por ejemplo, la irracionalidad de la raíz cuadrada de 2, pero aquí no se trata de hacer matemáticas sino de la física, y en esta disciplina ¿qué es la raíz cuadrada de 2 ?...) ¿No debiéramos imaginar una nueva aritmética (’’nuevos’’ números y nuevas operaciones elementales, con el fin, por ejemplo, de evaluar el $d(A,C)=d(A,B)+d(B,C)$ mencionado en la introducción) ?

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Pour citer cet article :

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «Física y números reales» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

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