Historias de números primos

Le 29 décembre 2009  - Ecrit par  Pierre Colmez
Le 29 juillet 2019  - Traduit par  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
Article original : Histoires de nombres premiers Voir les commentaires
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Si uno usa la criba de Erastótenes para elaborar la lista de números primos
 [1] difícilmente puede dejar de notar que la cantidad de números primos que terminan en 1 es más o menos la misma que aquellos que terminan en $3$, en $7$ o en $9$. Por lo tanto, uno naturalmente tiende a pensar que hay una infinidad de números primos de la forma $10n+a$, si $a=1$, $3$, $7$ o $9$, y más generalmente, que hay una infinidad de números primos en las progresiones aritméticas de la forma $Dn+a$, si $a$ es primo relativo con $D$.

El teorema de la progresión aritmética

Adaptando la prueba de los griegos acerca de la existencia de una infinidad [2] de números primos, no es difícil probar que hay una infinidad de la forma [3] $4n-1$. Con un poco más de tecnología, se muestra sin demasiado esfuerzo que existe una infinidad de la forma [4] $4n+1$.

Hubo que esperar hasta 1837 para que Dirichlet demostrara el resultado esperado, a saber, que los números primos se reparten equitativamente en las progresiones aritméticas de la forma $Dn+a$, para $a$ primo en $D$ (teorema de la progresión aritmética), gracias a una mezcla de análisis de Fourier sobre los grupos finitos (antes que la noción de grupo hubiera sido refinada del todo), de análisis y de geometría de los números : un resultado magnífico con una espléndida demostración.

El teorema de Tchebotarev

Entonces, ¿fin de la historia ? Bueno, no, ya que la teoría de Galois permite reinterpretar el resultado de Dirichlet bajo una forma [5] que admite una generalización natural bajo la forma del teorema [6] de Tchebotarev (1926), una de las pausas de la teoría de cuerpos de clases que tuvo ocupados a los aritméticos durante una cuarentena de años alrededor de 1900. Este teorema es la herramienta más potente de la cual uno dispone para producir [7] números primos con propiedades extrañas, lo que fue utilizado con provecho por diferentes personas, entre ellas Wiles para su demostración del teorema de Fermat (1994).

La conjetura de Sato-Tate

¿Fin de la historia ? Eeh, tampoco, ya que Sato (a partir de cálculos por computador para la función $\Delta$ ; vea más adelante) y Tate (inspirándose en el teorema de Tchebotarev) conjeturaron (conjetura de Sato-Tate, inicio de los años 1960) que los números primos se reparten equitativamente en los grupos motívicos de Galois [8].
El caso de la función $\Delta$, que había motivado a Sato, acaba de ser demostrado en 2008 por Harris y Taylor con ayuda de un gran número de personas, adaptando los métodos de Wiles y utilizando una gran parte de lo que fue demostrado del programa que Langlands puso en pie en 1967, amplia generalización de la teoría de cuerpos de clases que ocupa a los aritméticos desde entonces. El caso general se mantiene aún ampliamente fuera de alcance.

La función $\Delta$ y la función $\tau$ de Ramanujan

La función $\Delta$ es el objeto romántico de la teoría de las formas modulares.
Está definida por la fórmula
\[\Delta=q\prod_{n\ge 1}(1-q^n)^{24},\]
donde $q=e^{2i\pi\,z}$ y ${\rm Im}(z)>0$. Uno puede desarrollar el producto y escribir $\Delta$ bajo la forma $\Delta=\sum_{n\ge 1}\tau(n) q^n$, donde $\tau$ es la función de Ramanujan, llamada así a raíz del interés que él puso en ella.

Se debe a Ramanujan dos conjeturas (hacia 1916), cuya influencia ha sido considerable. Según la primera, demostrada rápidamente por Mordell, se tiene $\tau(ab)=\tau(a)\tau(b)$, si $a$ y $b$ son primos entre sí, y
\[ \tau(p^{n+1})-\tau(p)\tau(p^n)+p^{11}\tau(p^{n-1})=0, \]
si $p$ es un número primo y $n\ge 1$. La segunda, más profunda, dice que
$|\tau(p)|\le 2p^{11/2}$ si $p$ es un número primo, y fue demostrada por Deligne en 1973 como consecuencia de la conjetura de Riemann para las variedades sobre los cuerpos finitos, enunciada por Weil en 1949, y que ocupó a los geómetras algebristas durante cerca de 25 años.

Combinando uno de los ingredientes de Deligne y el teorema de Tchebotarev, se puede por ejemplo probar que si $\ell$ es un número primo $>691$ y si $a\in{\mathbf Z}/\ell{\mathbf Z}$ y $b\in ({\mathbf Z}/\ell {\mathbf Z})^*$, entonces existe una infinidad de números primos $p$ tal que $\tau(p)=a$ módulo $\ell$ y $p^{11}=b$ módulo $\ell$.

El teorema de Deligne muestra que las raíces del polinomio
$X^2-p^{-11/2}\tau(p)X+1$ son de módulo $1$. Como su producto vale $1$, hay un elemento $f_p$ del grupo ${\rm SU}_2$ (bien definido excepto por conjugación) para el cual son los valores propios, y la conjetura de Sato dice que los $f_p$ se reparten equitativamente en ${\rm SU}_2$. Esto se traduce, de manera más concreta (pero menos conceptual), en el enunciado siguiente, que es un teorema desde este verano : si $-1\le a\le b\le 1$, entonces
\[\lim_{x\to +\infty}\frac{|\{p\ {\rm primo},\ p\le x \ {\rm y}\ 2a\le p^{-11/2}\tau(p)\le 2b\}|}{|\{p\ {\rm primo},\ p\le x\}|}=\frac{2}{\pi}\int_a^b\sqrt{1-t^2}\,dt.\]

Notes

[1Estos se encuentran en una colina matemática tan alejada que eso permite predecir la frecuencia promedio de huracanes que van a reventar sobre Francia si la temperatura sigue aumentando, pero podrían estar en el origen de un terremoto en el mundo virtual si alguien astuto encontrara el medio de factorizar los enteros tan rápidamente como se produzcan nuevos números primos.

[2Al parecer, al leer los programas oficiales, uno puede entrar a la École Polytechnique sin haber aprendido esta prueba.

[3Si el conjunto de los números primos de la forma $4n-1$ es finito, constituido por $p_1,\dots, p_r$, entonces todo divisor primo de $4p_1\cdots p_r-1$ es de la forma $4n+1$, lo que lleva a un absurdo.

[4Si un número primo $p$ divide $4k^2+1$, entonces $-1\equiv (2k)^2$ módulo $p$, y se deduce del pequeño teorema de Fermat que $(-1)^{(p-1)/2}\equiv (2k)^{p-1}\equiv 1$módulo $p$, y por lo tanto que $p$ es de la forma $4n+1$. Ahora, si el conjunto de números primos de la forma $4n+1$ es finito, constituido por $p_1,\dots, p_r$, entonces el conjunto de los $4k^2+1$, para $k\in{\mathbf N}$, está incluido en aquél de los $p_1^{k_1}\cdots p_r^{k_r}$, con $k_1,\dots, k_r\in {\mathbf N}$. Se desemboca en una contradicción, ya que la suma de los inversos de las raíces cuadradas de los elementos del primer conjunto vale $+\infty$, mientras que la suma de aquéllos del segundo es finita.

[5Los números primos se reparten equitativamente en el grupo de Galois del polinomio $X^D-1$ (que es igual a $({\mathbf Z}/D{\mathbf Z})^*$).

[6Los números primos se reparten equitativamente en los grupos de Galois, un enunciado que exigiría más precisión, pero eso nos arrastraría un poco lejos.

[7Esto es, mostrar la existencia ; exhibir explícitamente es otra historiaI...

[8Que no tengo la intención de definir aquí.

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Pour citer cet article :

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «Historias de números primos» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

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