¿Cuál es el sentido de esa pequeña palabra anodina, de ese signo $=$ que manejamos desde la escuela primaria ?

O, más bien, ¿cuáles son sus sentidos ?

La primera idea es consultar un diccionario. El de la Academia [1] comienza por :

★ I. Calidad de aquello que es igual. [...]

¡Ah ! Empezamos bien...

Por lo tanto ahora tenemos que consultar el adjetivo ’’igual’’ :

★ I. Adj. 

★ A. Parecido, ya sea en número, en cantidad, en naturaleza, en calidad. 

☆ 1. Parecido en número, en cantidad, en dimensión. [...]

GEOM. Figuras iguales, figuras que uno puede hacer coincidir exactamente, superponibles. 

☆ 2. Parecido en naturaleza, en calidad, en intensidad, en valor. [...]
DER. Hablando de personas. Cuyos derechos y deberes cívicos son los mismos. [...]

☆ 3. Por ext. Que no establece diferencia, desigualdad entre las personas o las cosas. [...]

★ B. Parecido a sí mismo, que es siempre el mismo, que no presenta desigualdades. [...]

★ II. N. Persona que tiene el mismo mérito, los mismos derechos, el mismo rango social que una o varias otras. [...]

Está mejor. Cuando uno consulta un diccionario, este lo lleva a usar otras palabras. Se constata aquí que la Academia utiliza las palabras ’’parecido’’, ’’superponible’’, ’’coincidir’’, ’’igual’’ etc.
Cada una de ellas está a su vez definida en el diccionario, utilizando otras palabras, que a su vez están definidas por otras...
Como los diccionarios no contienen más que un número finito de palabras, sólo hay dos soluciones : 

• o bien, siguiendo la cadena de definiciones, uno encuentra una palabra que ya consultó,

• o bien, algunas palabras no están definidas en el diccionario.

La primera solución es ampliamente utilizada por los diccionarios. A menudo eso no es un problema.

Los matemáticos adoran la precisión : han optado por la segunda solución. Cierto número de símbolos primitivos no están definidos : sirven como ladrillos de base para la construcción de teoría. Es el caso del símbolo $=$. Por lo tanto, va a ser necesario comprender el ’’sentido’’ de la palabra ’’igual’’ a través de situaciones donde intervienen, y hacer surgir ese sentido.

Por ejemplo, consultemos las primeras líneas del primer volumen de los ’’Elementos de Matemáticas’’ de Bourbaki, vasto tratado cuyo objetivo es presentar las matemáticas de manera sistemática, comenzando por el principio. He aquí entonces este inicio bastante indigesto :

§1. TÉRMINOS Y RELACIONES

1. Signos y conexiones

Los signos de una teoría matemática ${\cal T}$ son los siguientes :

1° Los signos lógicos : $\square$, $\tau$, $\wedge$, $\neg$.

2° Las letras.

Entendemos por aquello las letras mayúsculas y minúsculas latinas, dotadas de acentos. Así, $A,A',A'',A''', ...$, son letras. En cualquier lugar del texto es posible introducir otras letras a las que ya figuraban en los razonamientos anteriores.

3° Los signos específicos, que dependen de la teoría considerada.

En Teoría de Conjuntos, solo utilizaremos los dos signos específicos : $=$, $\in$.

etc.

Así, en este famoso tratado, el autor Bourbaki decidió no tratar de definir el símbolo $=$ : es un signo específico, y punto. ¡Avanzamos bastante ! Estoy seguro de que la mayoría de los lectores prefiere todavía las definiciones del diccionario que se muerden la cola : por lo menos, uno las entiende...

Sigamos en el campo de las matemáticas y examinemos algunos ejemplos. Antaño se decía que dos triángulos son iguales si al reproducir uno sobre un papel calco y sacando luego el calco, se lo podía hacer coincidir con el segundo. Esto es, por ejemplo, lo que se encuentra en la página 3 de un famoso libro de geometría elemental de Hadamard publicado en 1898.

3. Figuras iguales.— Una figura cualquiera puede ser transformada en una infinidad de maneras en el espacio sin deformación, como ocurre con los cuerpos sólidos usuales. 

Se dice FIGURAS IGUALES a dos figuras que se pueden transportar una sobre la otra, de manera de hacerlas coincidir exactamente en todas sus partes ; en una palabra, dos figuras son iguales, son una sola y misma figura, en dos lugares distintos.

Uno comprende lo que esto quiere decir, pero se presentan serias dificultades. Así, no habría más que un solo y único cuadrado de un metro de lado y este único cuadrado ’’abstracto’’ vendría a ’’encarnarse’’ por aquí y por allá en posiciones diferentes. Un poco como si el cuadrado fuera un individuo que se desplaza. Pero, ¿qué quiere decir ’’desplazarse sin deformación’’ ?

Henri Poincaré no se privó de criticar este tipo de definiciones en La Ciencia y la Hipótesis :

’’De hecho, esta definición no define nada. No tendría ningún sentido para un ser que habitara un mundo donde solo hubiera fluidos. Si nos parece clara es porque nosotros estamos acostumbrados a las propiedades de los sólidos naturales, que no difieren mucho de la de los sólidos ideales, todas cuyas dimensiones son invariables’’.

Si uno lleva esta definición un poco más lejos, se puede decir que todos los puntos son iguales ya que evidentemente yo puedo hacer coincidir dos puntos cualesquiera desplazando uno sobre el otro. ¿Todos los puntos son iguales ? No creo que esa aseveración hubiera sido del agrado de mis profesores de matemáticas en el colegio. Por cierto, es por esta razón que la terminología ’’triángulos iguales’’ —que sin embargo era bastante práctica— fue prohibida en nuestras escuelas [2]. El precio a pagar es alto, ya que hubo que introducir nuevas palabras que no forman parte del vocabulario de nuestros alumnos : a veces se dice que dos triángulos son ’’isométricos’’ o incluso ’’congruentes’’, y se reserva la palabra ’’igual’’ para una situación caricaturesca en la cual los triángulos son exactamente los mismos. Ahí se gana en precisión pero se pierde en comprensión. ¿Quién va a pedirle a sus padres que corte la torta de cumpleaños en partes isométricas ? Fuera de la escuela y de la clase de matemáticas, la palabra ’’igual’’ vuelve a tomar su lugar, ya que se la entiende bien —no hay ambigüedad— y eso es todo lo que se le pide a una palabra.

Otro ejemplo : cuando escribo $3+2=1+1+3$, ¿quiero decir que $3+2$ es lo mismo que $1+1+3$ ? No realmente, ya que para escribir $3+2$ yo tipeo tres veces en mi teclado, mientras que para escribir $1+1+3$ tengo que tipear cinco veces. Lo que uno quiere decir con esta igualdad es que las dos ’’cosas’’ son iguales al mismo número $5$. Un poco como nuestro único cuadrado -que se encarnaba por aquí y por allá en diversos cuadrados-, el número $5$ aparecería bajo diferentes disfraces : $3+2$, $2+2+1$, ’’Cinco’’, ’’Five’’, ’’Cinq’’, etc. Entonces, ¿habría que inventar una nueva palabra, como la educación nacional lo ha hecho para los triángulos ? ¡Ya me imagino una protesta si se prohibiera decir que ’’dos más tres es igual a cuatro más uno’’ !

Estamos entonces en una situación en la que tenemos ganas de utilizar la misma palabra ’’igual’’ en un gran número de contextos distintos, aunque se permita abusos de lenguaje. Por eso hay que seguir el consejo de Henri Poincaré.

’’Hacer matemáticas es darle el mismo nombre a cosas distintas’’.

Lo que él entiende por eso es que la fuerza de las matemáticas es revelar situaciones que a priori no tienen nada que ver, pero que en el fondo funcionan de la misma manera. Extraer un funcionamiento común y darle un nombre es un gran paso en la comprensión. La fuerza de casi todos los grandes conceptos matemáticos es la de poder ser interpretados casi en todas partes. Un sólo ejemplo : utilizamos los mismos números para contar ovejas, zanahorias, nuestra edad, nuestro peso, el número de electrones en el universo, etc. Eso no era del todo evidente. Algunos idiomas usan números diferentes según los contextos. Es este tipo de abstracción el que ha conducido la aritmética y sus cuatro operaciones : yo uso la misma palabra ’’más’’ cuando agrego dos superficies o dos pesos, y sin embargo se trata de operaciones distintas.

Volvamos a la palabra ’’igual’’. Hace bastante tiempo que los matemáticos, los lógicos y los filósofos han reflexionado y extraído de la palabra ’’igual’’ las propiedades que la caracterizan.

• Toda ’’cosa’’ es igual a sí misma.
• Si una ’’cosa’’ es igual a otra, esta última también es igual a la primera.
• Dos ’’cosas’’ iguales a una misma tercera son iguales entre ellas.

¿Hemos progresado ? ¡Sí ! Cuando estas tres propiedades son satisfechas se habla de relación de equivalencia y uno puede emplear la palabra ’’igual’’. Esto permite clasificar reagrupando los ’’tamaños’’ en ’’paquetes’’ de cosas iguales, que a menudo se llaman ’’clases’’.

Veamos primero un ejemplo simplista. La siguiente figura representa un conjunto de objetos, cada uno de los cuales tiene una forma, un color y un número. Supongamos, por ejemplo, que solo me intereso en la forma, y que considero ’’iguales’’ dos objetos que tienen la misma forma. Por supuesto, las tres propiedades de arriba están satisfechas, y yo dibujé los paquetes : está el paquete de triángulos, el de cuadrados y el de discos. Pero evidentemente, si yo hubiera preferido usar otro criterio, como el color por ejemplo, para definir la igualdad, entonces tendría el paquete de rojos y el paquete de azules.

De alguna forma se parte de un conjunto rico, descrito por numerosos parámetros, y uno ’’los olvida’’ para retener solo algunos criterios :

• Dos empleados no son idénticos como seres humanos, pero sus salarios pueden ser idénticos ;

• Dos personas con el mismo peso no tienen, sin embargo, el mismo color de ojos, de cabello, etc ;

• Dos triángulos ’’superponibles por un desplazamiento del plano’’ no son necesariamente los mismos. Los ’’casos de igualdad de los triángulos’’ permiten determinar si dos triángulos son ’’iguales’’ en ese sentido.

• Dos franceses pueden tener las mismas tres primeras cifras de su número de Seguridad Social (es decir, mismo sexo y mismo año de nacimiento).

Los matemáticos llaman a este olvido una proyección : uno proyecta el conjunto de los empleados sobre el conjunto de salarios, asociando a cada persona su salario.

¿Por qué la palabra ’’igual’’ no es aun más corriente en matemáticas ? Simplemente porque en numerosas situaciones uno dispone de muchas relaciones de equivalencia sobre el mismo conjunto, y habría riesgo de confusión si se les llamara ’’igual’’ a todas. Por lo tanto, se asiste a un florecimiento de palabras tan bárbaras unas como otras : congruente, isomorfa, homeomorfa, conforme, biholomorfa, difeomorfa, cuasiconforme, equipotente, etc, etc. Para los profesionales, esta abundancia de terminología es útil, pero en la vida diaria es preferible pedir que se corte la torta en partes iguales...

Una igualdad solo puede concebirse tomando claramente conciencia de esta proyección. A menudo está implícita y es inútil precisarla más, pero a veces es muy importante explicitarla. La Declaración de los Derechos del Hombre y del Ciudadano, en 1789, comienza así :

Artículo primero - Los hombres nacen y permanecen libres e iguales en derechos.[...]

Los revolucionarios tenían las ideas claras... ¡Nunca pretendieron que todos los hombres son idénticos ! Ellos afirmaron que son iguales en derechos, o en otras palabras, precisaron lo que se debe entender por este término : el derecho es el mismo para todos. Antiguamente, las clases de la relación ’’tener los mismos derechos’’ eran numerosas (el clero, la nobleza y el tercer estado no estaban regidos por las mismas leyes). La declaración afirma que no hay más que una... Hay que leer que dos hombres son iguales si están obligados por las mismas leyes. ¡No se trata de una igualdad estricta !

Finalmente, los diccionarios no son malos, y no hay que inquietarse si uno encuentra muchas definiciones para la palabra ’’igual’’. Mientras se trate de una relación de equivalencia y que uno haya explicado bien la definición en cada caso particular, no hay mayor riesgo en utilizar una misma palabra para cosas diferentes... ¡por el contrario !