Un desafío por semana

Julio 2014, tercer desafío

Le 18 juillet 2014  - Ecrit par  Ana Rechtman
Le 18 juillet 2014
Article original : Juillet 2014, 3ème défi Voir les commentaires
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Les proponemos un desafío del calendario matemático 2014. Su solución aparecerá cuando se publique el siguiente desafío.

Semana 29 :

Un juego consiste en lanzar un dado y adelantar un reloj hasta detenerlo en el número de horas indicado por el dado. Si al inicio el reloj indica las $12$ horas en punto, y se lanza el dado $2014$ veces, ¿cuál es la probabilidad de que la aguja de las horas quede al final en posición horizontal ?

Solución del segundo desafío de julio

Enunciado

La respuesta es $25$ puntos.

Llamemos $A$, $B$, $C$ y $D$ los puntos medios de los lados del paralelógramo y $E$ su centro, como lo muestra la figura. Hay 8 triángulos cuyos vértices están ubicados sobre esos puntos, cuatro que tienen $E$ como vértice y cuatro para los cuales $E$ es el medio de uno de los lados.

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Consideremos los triángulos que tengan un vértice en $E$ y marquemos los medios de sus lados. Estos corresponden a los puntos medios de los lados $AB$, $BC$, $CD$, $AD$, $AE$, $BE$, $CE$ y $DE$ ; se obtiene entonces $8$ puntos. Si ahora se marca los puntos medios de las medianas, se obtiene $12$ puntos más, ya que cada triángulo tiene $3$ medianas.

Ahora, consideremos los triángulos para los cuales $E$ está al medio de un lado. Por ejemplo, en el triángulo $ABD$, los puntos medios de los lados están ya indicados. Llamemos $M$ el punto medio del lado $AB$. El punto medio del segmento $EM$ ya está marcado pues $EM$ es mediana del triángulo $ABE$. Observemos que, como $E$ es el punto medio de $BD$, la recta $EM$ es paralela a $AD$, lo que implica que el punto medio de la mediana $BP$ del triángulo $ABD$ está sobre $EM$. Además, como $P$ es el punyo medio de $AD$, el punto de intersección de $EM$ y $BP$ es el punto medio de $EM$, lo que implica que los punto medios de las medianas del triángulo $ABD$ que pasan por $B$ y $D$ están ya señalados. La tercera mediana del triángulo $ABD$ es $AE$, cuyo punto medio también está indicado. Todo esto implica que en el triángulo $ABD$ no se marca ningún punto, y que va a ocurrir lo mismo con los otros tres triángulos para los cuales $E$ está al medio de un lado.

En consecuencia, al final habrá $5+8+12=25$ puntos marcados.

Post-scriptum :

Calendario Matemático 2014 - Bajo la dirección de Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textos : Étienne Ghys - Ilustraciones : Jos Leys.
2013, Googol, Presses universitaires de Strasbourg. Todos los derechos reservados.

Article original édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

— «Julio 2014, tercer desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2014

Crédits image :

Image à la une - ’’Proyección estereográfica’’, por Jos Leys.

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