La conjetura de Goldbach

Piste bleue Le 20 mars 2013  - Ecrit par  Bruno Martin
Le 22 février 2019  - Traduit par  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
Article original : La conjecture de Goldbach Voir les commentaires
Lire l'article en  

¡Qué rara idea la de sumar números primos ! Es, sin embargo, lo que hizo un tal Goldbach hace más de 250 años...

En este artículo descubriremos una de las más famosas conjeturas matemáticas. Fue enunciada en 1742 por el matemático alemán Christian Goldbach en una carta (reproducida parcialmente en la imagen de entrada de este artículo) al matemático suizo Leonhard Euler [1]. Se trata de uno de los problemas matemáticos más antiguos sin resolver hasta hoy.

La conjetura de Goldbach hace intervenir los números primos. En lugar de enunciarla inmediatamente, comenzaremos por presentar el conjunto de los números primos, exponer su propiedad fundamental y ver las razones que pueden conducir a enunciarla.

Los números primos

Se dice que un número es primo si solo es divisible por 1 y por sí mismo, y es mayor que 1 [2]. El número $1$ no es entonces primo. Los números $2$ y $3$ son primos, no son divisibles más que por sí mismos y por 1. Por el contrario, el número $4$ no es primo ya que es divisible por $2$. De hecho, si uno conoce bien las tablas de multiplicación, es fácil comenzar a listar los números primos :
\[ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53... \]
¿Esta lista se detiene ? Más tarde volveremos a hablar de esto. El siguiente resultado justifica por sí solo que uno se interese en los números primos.

Teorema : Todo número entero mayor que 1 es, ya sea un número primo, o igual a un producto de muchos números primos.

Dicho de otra forma, efectuando multiplicaciones de números primos, uno puede encontrar todos los otros números.
Verifiquémoslo con un ejemplo : tomemos el número 60. No es primo ya que es divisible por 10. Tenemos
\[ 60= 6 \times 10. \]
Pero ni $6$ ni $10$ son primos. En efecto, $6$ es divisible por $3$, $10$ es divisible por $5$. Más exactamente,
\[ 6 =2 \times 3 \textrm{ y }  10= 5 \times 2. \]
Por lo tanto, podemos escribir
\[ 60 =6\times 10 = (2 \times 3) \times (5 \times 2)= 2 \times 3 \times 5 \times 2. \]
Puesto que $2, 3$ y $5$ son números primos [3], hemos terminado. De hecho, no es muy difícil inspirarse en este ejemplo para demostrar el teorema.

Acabamos de ver que al multiplicar los números primos entre ellos, se puede encontrar todos los números mayores que 2. ¿Ocurre un fenómeno idéntico al sumar números primos ? En otras palabras, ¿puede uno encontrar todos los demás números mayores que 2 a partir de números primos, efectuando solo adiciones ?

Una breve reflexión muestra que la respuesta a esta pregunta es muy simple. En efecto, adicionando el número $2$ a sí mismo tantas veces como sea necesario, se puede obtener todos los números pares. Y si un número es impar, le restamos $3$ para obtener un número par, el que se obtiene sumando varios $2$. Por ejemplo, tomemos el número $29$. Si se le resta $3$, se obtiene $26$, y $26$ se obtiene adicionando trece veces el número $2$. Se tiene entonces
\[29=3+13\times 2=3+2+2+\ldots+2.\]

Con semejante proceso, mientras más grande sea el número, más sumas hay que efectuar. Pero, ¿qué pasa si uno limita el número de sumas ?

Pregunta : ¿Se puede obtener cualquier número mayor que $1$ sumando solo números primos, y sin exceder nunca una cantidad fija de adiciones ?

Por ejemplo, ¿podemos limitarnos a veinte adiciones de números primos para encontrar cualquier número ? Esta vez, la respuesta a la pregunta está lejos de ser evidente.

Comencemos por ver lo que ocurre cuando uno suma solamente dos números primos. Por el momento, dejemos de lado el número $2$, y calculemos todas las sumas posibles con números primos comprendidos entre $3$ y $19$. Para esto disponemos dichos números primos sobre la primera línea y la primera columna de una tabla de doble entrada.

3 5 7 11 13 17 19
3
5
7
11
13
17
19

Llenamos esta tabla colocando en cada casillero la suma del número primo de la fila con el de la columna correspondiente, tal como se ilustra a continuación.

3 5 7 11 13 17 19
3 6 8 10 14 16 20 22
5 10 12 16 18 22 24
7 14 18 20 24 26
11 22 24 28 30
13 26 30 32
17 34 36
19 38

No es necesario llenar los otros casilleros, pues los resultados allí serán exactamente los mismos que en la parte superior del cuadro.

Primera comprobación : todas las sumas obtenidas son números pares. ¿Es sorprendente ? No, ya que un número primo mayor que $2$ es siempre impar. (en efecto, si fuera par, sería divisible por $2$, y no podría ser primo), y cuando uno adiciona dos números impares, el resultado siempre es un número par.

Por otra parte, el mayor número par obtenido es 38 y se comprueba que todos los números pares comprendidos entre 6 y 38 están presentes en el cuadro. ¿Perdura este fenómeno ? Para saberlo, prosigamos un poco con nuestros cálculos sumando todos los números primos comprendidos entre 3 y 29. Para esto basta con agregar dos líneas y dos columnas a nuestro cuadro inicial.

3 5 7 11 13 17 19 23 29
3 6 8 10 14 16 20 22
5 10 12 16 18 22 24
7 14 18 20 24 26
11 22 24 28 30
13 26 30 32
17 34 36
19 38
23
29

Luego, completamos los casilleros faltantes.

3 5 7 11 13 17 19 23 29
3 6 8 10 14 16 20 22 26 32
5 10 12 16 18 22 24 28 34
7 14 18 20 24 26 30 36
11 22 24 28 30 34 40
13 26 30 32 36 42
17 34 36 40 46
19 38 42 48
23 46 52
29 58

El mayor número par resultante es $58$. Uno obtiene casi todos los números pares comprendidos entre $6$ y $58$, pero no todos : faltan $44$, $50$, $54$ y $56$. Sin embargo, estos aparecerán cuando uno agregue las líneas y columnas correspondientes las de los dos números primos siguientes ($31$ y $37$), ya que $44=31+13$, $50=31+19$, $54=31+23$ y $56=37+29$.

Estos cálculos nos llevan entonces naturalmente a imaginar que si uno continuara extendiendo el cuadro agregando números primos, obtendría progresivamente todos los números pares mayores que $6$. En otros términos, todo número par mayor que 6 podría ser obtenido sumando dos números primos. Digamos que $4$ es también suma de dos números primos, ya que $4=2+2$. Parece entonces que una suma de dos números primos basta para obtener cualquier número par mayor que $2$.

¿Se puede hacer lo mismo con los números impares ? Para obtener un número impar con una adición, hay que adicionar un número par y un número impar. El único número primo par es $2$ y hasta ahora lo habíamos dejado de lado. Adicionándolo a los números primos impares, ¿uno va a obtener todos los números impares ? Eso querría decir que todo número impar está inmediatamente precedido por un número impar que es primo, lo que es falso ya que no es el caso para 11 (el número impar que le precede, 9, no es primo). En resumen, no se puede esperar encontrar todos los números limitándose a una adición de dos números primos.

Partamos de la hipótesis de que todo número par mayor que $2$ efectivamente es suma de dos números primos. Ahora es fácil ver que un número impar mayor que $7$ siempre es suma de tres números primos. En efecto, si uno resta $3$, obtiene un número par mayor que $4$, que es entonces suma de dos números primos según nuestra hipótesis. Adicionando esos dos números primos y el número 3, uno cae de nuevo en el número de inicio, que es entonces suma de tres números primos.

Notemos que $2$, $3$ y $5$ ya son números primos, por lo que no se requiere ninguna adición de números primos para obtenerlos. Parece entonces que todo número mayor que 1 es ya sea primo, ya sea suma de dos o tres números primos, lo que resumiremos diciendo que todo número es suma de a lo más tres números primos.

Salvo algunos matices, esta es exactamente la conjetura que Goldbach formuló en su carta a Euler. Pero generalmente uno asimila la conjetura de Goldbach a la hipótesis hecha más arriba, acerca de los números pares, que había sido enunciada por Euler en su respuesta a Goldbach.

Conjetura (Goldbach-Euler, 1742) : Todo número par mayor que $2$ es suma de dos números primos.

A continuación, salvo una precisión contraria, designaremos a este enunciado como la conjetura de Goldbach.

Como se acaba de ver, la conjetura de Goldbach implica que todo número mayor que $2$ es suma de a lo más tres números primos. Se observa así un fenómeno sorprendente. Mientras que los números primos son ante todo conocidos por su aptitud para encontrar todos los demás números mediante multiplicaciones, parece posible hacerlo también efectuando adiciones, y no más de dos. Pero recordemos que hasta esta etapa, no hemos demostrado nada : aún no estamos en condiciones de dar una respuesta fiable a nuestra pregunta inicial, a saber ¿es posible obtener todos los números efectuando sólo un número limitado de adiciones de números primos ?

Volveremos a esta pregunta más tarde. Por el momento nos concentraremos algunos instantes en la conjetura de Goldbach para tratar de aportar algunas luces en torno a ella.

La conjetura de Goldbach, ¿es verdadera ?

Hay dos respuestas posibles a esta pregunta. Si es no, quiere decir que existe al menos un número par que no es suma de dos números primos, lo que se llama un contraejemplo. Para encontrarlo, se puede escribir un programa informático para determinar si un número par dado es suma de dos números primos, y luego utilizarlo para probar varios números pares. Hasta el momento este método no ha entregado ningún contraejemplo : en la actualidad se ha verificado que todo número par inferior a $4\times10^{18}$ es exactamente la suma de dos números primos [4]. Si un contra-ejemplo existe, entonces ¡es inmenso !

Esto juega fuertemente en favor de una respuesta afirmativa : la conjetura de Goldbach debiese sin duda ser verdadera. Pero en ese caso hay que entregar una demostración. Y hasta el momento nadie lo ha conseguido. La conjetura de Goldbach, a imagen del problema 3n+1, es un asunto que, a pesar de su enunciado elemental, sigue sin ser resuelta hasta el momento.

Sin embargo, probemos suerte razonando con nuestro cuadro extensible y comencemos por hacer de abogado del diablo, ¡buscando refutar esta conjetura !

Tratemos de probar que la conjetura de Goldbach es falsa

Nosotros comenzamos a elaborar la lista de números primos, pero ¿qué pasaría si esta se detuviera ? Para aclarar las ideas, supongamos que haya un millón de números fijos y nada más. La conjetura de Goldbach simplemente sería falsa. En efecto, nuestro cuadro se detendría. Sería gigantesco, tendría desde luego un número considerable de casos, ¡pero nunca podría contener todos los números pares, que son infinitos ! Pero justamente la lista de números primos no se detiene. En otras palabras, existe una infinidad de números primos. Y esto se sabe demostrarlo [5].

Muy bien, existen números primos tan grandes como uno quiera, pero... es posible que sean muy ’’pocos’’. No es fácil darle un sentido preciso al término ’’contado’’ usado aquí. Imagine que usted se pasea por un camino cuyos bordes están numerados de $1$ al... infinito, y que usted anota en una tarjeta los números primos que encuentra. Usted está seguro de encontrar números primos mientras siga su marcha. Pero puede que la distancia a recorrer entre un número primo y el siguiente sea globalmente cada vez más larga. A tal punto que uno podría imaginar que la elección de dos números primos es demasiado limitada, y que no haya tantos como para obtener los números pares. No diremos nada más al respecto por el momento.

Parece en todo caso que una buena estimación de la frecuencia de números primos sea un ingrediente importante, si no esencial, para captar la conjetura de Goldbach.

Tratemos de demostrar que la conjetura de Goldbach es verdadera... hasta 100

Prosigamos con nuestra reflexión, tratando esta vez de poner al día los argumentos que podrían jugar en favor de la conjetura de Goldbach.
Agrandando un poco más nuestro cuadro y efectuando las adiciones necesarias, podríamos verificar que todo número par comprendido entre $4$ y $100$ es suma de dos números primos. Pero intentemos llegar a ese resultado ¡sin calcular esas adiciones !
Vamos a utilizar todos los números primos comprendidos entre $3$ y $53$ (si uno se detiene en $47$, no tenemos ninguna posibilidad de obtener el número $100$) y luego tratar de razonar sobre el cuadro incompleto.

3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53
3
5
7
11
13
17
19
23
29
31
37
41
43
47
53

¿Cuántos casilleros hay coloreados en amarillo y verde ? En otras palabras ¿cuántos resultados vamos a obtener ? El cuadro completo tiene $15$ líneas y $15$ columnas, ya que hay $15$ números primos comprendidos entre $3$ y $53$. Hay entonces $15\times 15=225$ casilleros en total. Hay tantos casilleros amarillos como casilleros azules, y la diagonal verde tiene $15$ casilleros. Hay entonces $(225- 15)/2$ o sea $105$ casilleros amarillos. Uno añade los $15$ casilleros de la diagonal, y en total vamos a obtener $120$ números pares comprendidos entre $6$ y $106$ $(=53+53).$ ¿Todos los números pares entre $6$ y $106$ ?

Entre $6$ y $106$ (incluidos) hay $101$ números y de esos $51$ son pares. Los $120$ casilleros son ampliamente suficientes para recibir esos $51$ números. Pero acordémonos de nuestros primeros cuadros : algunos números pares se obtienen de muchas maneras adicionando dos números primos. Por ejemplo, el número $24$ es igual a $17+7$, $19+5$ y $13+11$. Se ve entonces el problema que se plantea : si algunos números pares ’’movilizan’’ demasiados números primos, podría ser que ya no haya suficientes números para obtener todos los demás. En nuestros cuadros anteriores, ningún número ocupa más de $3$ casilleros.

Hagamos la hipótesis de que este límite de $3$ casilleros por número quede sin cambiar cuando se agrande el cuadro ; dicho de otra forma, que un número —cualquiera que sea— no pueda aparecer más de $3$ veces en el cuadro.
Eso querría decir que nuestros $120$ casilleros van a permitirnos obtener al menos $120/3 = 40$ números pares distintos. Nuestra tentativa falla ya que es necesario obtener $51$. Notemos que nuestro razonamiento se basa en dos datos : el número de números primos comprendidos entre $3$ y $53$ y el número máximo de casilleros ocupados por un número par. Ahora confrontemos nuestras consideraciones con la realidad, completando el cuadro.

3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53
3 6 8 10 14 16 20 22 26 32 34 40 44 46 50 56
5 10 12 16 18 22 24 28 34 36 42 46 48 52 58
7 14 18 20 24 26 30 36 38 44 48 50 54 60
11 22 24 28 30 34 40 42 48 52 54 58 64
13 26 30 32 36 42 44 50 54 56 60 66
17 34 36 40 46 48 54 58 60 64 70
19 38 42 48 50 56 60 62 66 72
23 46 52 54 60 64 66 70 76
29 58 60 66 70 72 76 82
31 62 68 72 74 78 84
37 74 78 80 84 90
41 82 84 88 94
43 86 90 96
47 94 100
53 106

Dos comprobaciones aparecen :

  • Nuestra hipótesis limitando el número de casilleros ocupados por cada número par a $3$ estaba lejos de la cuenta, ya que resulta que algunos números como $60$ aparecen seis veces.
  • No era posible de ninguna forma obtener todos los números pares inferiores a $106$ de esta manera, ya que por ejemplo $92$ ($=31+61$) no figura ahí. Nuestra restricción a los números primos inferiores a $53$ ¡era demasiado severa ! Nosotros ya habíamos sido confrontados a ese fenómeno cuando habíamos considerado hacer intervenir en el cuadro los números primos comprendidos entre $3$ y $29$.

En resumen, nuestro razonamiento fracasa y de todas maneras no se basaba en una hipótesis válida. Sin embargo, se revela que puede haber sido rigurosa y que, en suma, si uno es capaz

  1. de evaluar la cantidad de números primos más pequeños que un número dado (hay que estar seguros de que haya suficientes números primos) ;
  2. de afirmar que la cantidad de veces que un número par dado aparece en el cuadro (se dice el número de representaciones de un entero par como suma de dos números primos) no es ’’demasiado elevado’’,

entonces uno puede mostrar que en una proporción, digamos importante, los números pares sí son suma de dos números primos, lo que ya es un comienzo.
Notemos el carácter astuto de este enfoque : para mostrar que cada número par admite al menos una representación (es una reformulación de la conjetura de Goldbach), uno trata de utilizar el hecho de que no puede tener de más.

De hecho, el punto 1 se deriva de un resultado establecido en 1851 por el matemático ruso Pafnouti Tchebychev. El enunciado es bastante técnico y dice en lo sustancial que, en efecto, los números primos se hacen cada vez más escasos —en la medida que uno avanza por el camino indexado con los números— ¡pero no tanto !

El punto 2 puede ser abordado empleando lo que se llama técnicas de cribado. ¿Tal vez vio la criba de Erastótenes durante su vida escolar ? Puede ser refinada para obtener resultados de ese tipo, que fue lo que hizo especialmente el matemático noruego Viggo Brun cerca de1920. Señalemos que, de hecho, se piensa que el número de representaciones de un número par crece globalmente con el tamaño del número. Uno puede por cierto calcular para los primeros números pares su número de representaciones y trasladar esos resultados a un gráfico : se obtiene una nube de puntos cuya apariencia notable ha sugerido el nombre de cometa de Goldbach.

PNG - 150.6 ko
La cometa de Golbach.

Ahí se ve por ejemplo que un número par del orden de 1 millón (la notación 1e+06 significa $1\times 10^6$) tiene un número de representaciones al menos superior a 2000. De hecho, se tiene incluso una idea bastante precisa de lo que debería ser el orden de magnitud teórico del número de representaciones de un número par dado. Pero, por supuesto, uno se mantiene aún en el nivel de las hipótesis.

A esos dos ingredientes, el matemático ruso Lev Genrikhovich Schnirelman agregó un tercero —que no vamos a describir aquí—, que si bien no permite demostrar la conjetura de Goldbach, da al menos una respuesta positiva a nuestra pregunta inicial.

Teorema (Schnirelman, 1930) : Hay un número $N$ tal que todo número mayor que 1 es la suma de a lo más $N$ números primos.

Schnirelman prueba que ese número $N$ existe, sin entregar ningún valor explícito. Después, muchos matemáticos han realizado un trabajo considerable para proporcionar valores admisibles tan bajos como sea posible para $N$. Hemos visto más arriba que uno no podía esperar tomar $N=2$, y que uno espera (esa es la conjetura de Goldbach en su forma original) poder mostrar que $N=3$ es admisible. El último resultado reconocido hasta hoy, afirma que uno puede tomar $N=6$. Se debe a Terence Tao (2012) [6], quien mejora así el último récord detentado desde 1995 por Olivier Ramaré con $N=7$ [7]. Es muy posible que $N=4$ sea obtenido próximamente. ¿Estamos entonces muy cerca de $N=3$, el valor conjeturado por Goldbach en su carta ? No. Parece que un abismo nos separa de eso. Como ya lo hemos indicado, la conjetura de Goldbach (en su forma original o en la que dio Euler) se ha juzgado como extremadamente difícil, y nada indica que será resuelta en un futuro cercano, pese al inmenso trabajo hecho por numerosos matemáticos.

¿Todo eso para qué ?

La conjetura de Goldbach, si fuera demostrada, sin duda no constituiría en sí un resultado muy importante : contrariamente a otras conjeturas matemáticas, no tiene ninguna influencia directa sobre otros problemas, y no respondería a una necesidad práctica cualquiera [8]. Constituiría más bien el fin de una larga epopeya. Una epopeya lejos de ser vana, ya que ha motivado y motiva aún el desarrollo de técnicas matemáticas muy finas, especialmente la teoría de la criba mencionada más arriba, cuyos campos de aplicación son vastos. Que esta conjetura resista después de tanto tiempo a las mentes más brillantes hace pensar que son necesarias nuevas ideas. Ideas que, si llegaran a germinar, lanzarían sin duda una nueva luz sobre esos fascinantes números primos, que todavía comprendemos demasiado mal.

Post-scriptum :

El autor agradece vivamente a Shalom Eliahou, Christophe Bourel, Cidrolin, Barbara Schapira, Christophe Boilley, Aline Parreau y a Bruno Duchesne, por su relectura minuciosa y crítica de este artículo, así como a Jean Fromentin por su valiosa ayuda técnica.

Article original édité par Bruno Martin

Notes

[1Se puede encontrar aquí una retranscripción dactilografiada de esta letra. ¡Aviso a los aficionados al alemán y al latín !

[2Sin esta condición, el número $1$ sería también primo, pero algunas consideraciones que no mencionaremos aquí han conducido a los matemáticos a excluirlo (N.d.T. : al respecto, vea este artículo). Notemos que en la época de Goldbach, el número 1 era considerado como primo.

[3Uno podría haber comenzado por escribir $60=4 \times 15$, o incluso $60=5\times 12$, pero habría obtenido finalmente los mismos números primos con el mismo número de apariciones. Más generalmente, se puede demostrar que —dejando de lado el orden en el cual uno hace las multiplicaciones— hay una sola manera de obtener un número dado efectuando productos de números primos.

[4« se ha » es en este caso el portugués Tomás Oliveira e Silva.

[5La primera demostración se atribuye a Euclides ; vea este artículo.

[6N.d.T. : Este artículo fue publicado previo al resultado de Harald Helfgott, quien probó que $N=3$ es admisible para todo entero impar, y por tanto $N=4$ es admisible para todo entero mayor a 1.

[7Otros resultados parciales sobre la conjetura de Goldbach pueden ser consultados en la página de Wikipedia dedicada a él.

[8por lo que sé...

Partager cet article

Pour citer cet article :

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «La conjetura de Goldbach » — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

Crédits image :

Image à la une - La carta de Goldbach a Euler
fuente : http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Letter_Goldbaxh-Euler.jpg

Commentaire sur l'article

Laisser un commentaire

Forum sur abonnement

Pour participer à ce forum, vous devez vous enregistrer au préalable. Merci d’indiquer ci-dessous l’identifiant personnel qui vous a été fourni. Si vous n’êtes pas enregistré, vous devez vous inscrire.

Connexions’inscriremot de passe oublié ?