Billar y problema de iluminación

El juego (matemático) del billar consiste en un primer tiempo en elegir una mesa $T$, no necesariamente rectangular, y colocar una bola encima [1]. Después de haber golpeado esta bola, se desplaza (idealmente) en línea recta hasta que topa con el borde. Cuando la bola toca el borde, rebota siguiendo la llamada ley de Snell-Descartes. Esta estipula que el ángulo de la trayectoria con el borde después del rebote (que se llama el ángulo reflejado) es igual al ángulo de la trayectoria con el borde antes del rebote (llamado ángulo incidente). Se deja de lado así toda clase de efecto y para simplificar aún más se supone que la bola está representada por un punto.
Eventualmente se añade algunos agujeros en el borde donde la bola se detiene.
Se obvia entonces toda disipación de energía. La bola continúa así indefinidamente hasta que no caiga en un agujero.

Si se considera que el borde de $T$ es un espejo, la ley de Snell-Descartes es la de la óptica geométrica. Un rayo de luz que se propaga dentro de $T$ y que se refleja en el borde sigue la misma trayectoria que nuestra bola de billar.

La siguiente figura ilustra la trayectoria de una bola sobre una mesa dibujada un poco arbitrariamente.

Un billar

En cada rebote, los ángulos reflejados e incidentes son medidos en relación a una recta particular que se llama tangente al borde [2]. Esta recta puede obtenerse de la siguiente manera: Cuando uno acerca la vista un gran número de veces sobre un punto del borde, el borde acaba por parecerse a una recta (de la misma manera que la Tierra nos parece plana, aunque no lo es cuando se la observa desde el espacio).
Basta entonces con alejarse guardando en la memoria la dirección de esta recta, de manera de poder trazarla sobre la figura inicial. Puede ocurrir que a esta construcción le falte algo en algunos puntos del borde. Se supone entonces que en cada uno de esos puntos se encuentra un agujero en el cual la bola cae. Esto pasa por ejemplo cuando el borde hace un ángulo.

Uno puede entonces plantearse las siguientes preguntas.

Problema 1 : Dada una mesa $T$, ¿es posible encontrar dos puntos $B$ y $R$ en $T$ tales que una fuente luminosa que emite en todas direcciones no ilumine a $R$ al ser colocada en $B$ ?

En la terminología del billar, se busca dónde colocar dos bolas, una blanca y la otra roja, de manera que sea imposible jugar la bola blanca $B$ para que logre tocar la bola roja $R$. Digamos de inmediato que no se coloca restricciones sobre el número de rebotes que haga la eventual trayectoria de $B$ a $R$.

Este asunto puede ser dado a conocer de la manera siguiente.

Problema 2 : Dibujar una mesa $T$ en la cual sean necesarias al menos dos fuentes para iluminar todos los puntos de $T$.

En el primer problema, una fuente colocada en $B$ no iluminará a $R$,
pero no es imposible que una fuente situada en otra parte ilumine todo el billar. En cambio, sobre la mesa del problema 2, donde sea que se coloque la bola $B$, habrá (al menos) una posición de $R$ que haga imposible el golpe.
Así, la mesa del problema 2 responderá siempre al problema 1, pero lo inverso no es forzosamente verdadero.

Comentemos también que una mesa que responda al problema 1 o 2 será a priori un poquito retorcida.

Billar en una elipse

Las elipses son curvas especiales del plano, que uno puede definir de la siguiente manera. Una elipse está caracterizada por el dato de dos puntos $F$ y $F'$ y por un número $R$ (estrictamente más grande que la distancia de $F$ a $F'$). La elipse está entonces formada por puntos $M$ que verifican la siguiente propiedad :
\[ MF + MF' = R, \]
donde $MF$ (respectivamente $MF'$) nota la distancia de $M$ a $F$ (respectivamente de $M$ a $F'$). Los puntos $F$ y $F'$ son llamados los focos de la elipse.

Desde un punto de vista práctico, para dibujar una elipse basta por lo tanto con tomar un cordel terminado en dos clavos o chinches, colocarlos en F y F’ y luego extender el cordel con el lápiz. Haciendo girar el lápiz alrededor de los clavos o chinches (siempre manteniendo el cordel extendido) se dibuja una elipse.

Haciendo semejante dibujo, o examinando la definición, uno puede convencerse que una elipse tiene dos ejes de simetría: la recta que pasa por los focos (que se llama eje focal) y la mediatriz del segmento $[FF']$.

Las elipses son conocidas desde la Antigüedad y aparecen regularmente en variados campos de las matemáticas y de la física. Así, la primera ley de Kepler asegura que cada planeta del sistema solar describe una elipse, uno de cuyos focos es el Sol. [3]

De manera abusiva (al menos para un matemático) se llama también elipse la región del plano bordeada por la curva anterior y que contiene los focos (es también el conjunto de los puntos tales que $MF + MF' \leq R$).
Ésta será nuestra mesa de billar en esta parte. [4]

Las elipses poseen una propiedad óptica notable, ilustrada en la figura siguiente y que se enuncia así:

«Todo rayo emitido desde un foco, una vez reflejado por el borde de una elipse, pasa por el otro foco.»

La propiedad óptica de las elipses

Esta propiedad, o más exactamente su interpretación acústica, explica por ejemplo que en ciertas estaciones del metro [5] se escuche de manera muy diferente una conversación que hay en el otro andén. De la misma manera como las ondas luminosas rebotan sobre un espejo, las ondas sonoras rebotan sobre la bóveda (cuasi-) elíptica. Una persona situada en un andén cerca del foco, escucha por lo tanto lo que ocurre en el andén de enfrente, cerca del otro foco.

Esta propiedad óptica tiene una consecuencia sobre las trayectorias del billar. Dado un punto $M$ del borde, tracemos la línea segmentada $FMF'$. La propiedad óptica anterior dice que esta línea es un pedazo de trayectoria (salida de uno de los dos focos, que rebota en $M$ y pasa después por el otro foco).
Nosotros la llamamos separatriz. En efecto, esta trayectoria separa las otras trayectorias que rebotan en $M$ en dos tipos:

• las que llegan entre la separatriz y el borde (y que parten de nuevo entre la separatriz y el borde),

• las que llegan entre los dos pedazos de la separatriz y que parten de la misma manera.

Esta separación influye sobre el lugar donde una trayectoria del billar corta el eje focal.

Un tipo de trayectoria

El otro tipo de trayectoria

Así, en el primer caso, la trayectoria rebota de nuevo antes de cortar el eje focal, o bien corta dicho eje fuera del segmento $FF'$ (vea la figura de la izquierda). En el segundo caso, la trayectoria corta el eje focal entre los focos, justo antes y justo después del rebote (es decir, antes de encontrar de nuevo el borde): este es el caso de la figura de la derecha.

Finalmente, una trayectoria que corta el eje focal entre los focos no lo cortará de nuevo nunca en el exterior del segmento $[FF']$ y, recíprocamente, una trayectoria que corta el eje focal en el exterior de $[FF']$ no volverá a cortarlo nunca entre los focos.

Esta dicotomía permitió a Penrose [6] construir mesas de billar que responden a los problemas 1 y 2 [7].

Los hongos de Penrose

Se comienza por cortar una elipse en dos, siguiendo el eje focal, y se guarda solo la mitad superior. Este es el sombrero de nuestro hongo.

Se agrega un pie y dos pequeños lóbulos, cuyas formas no tienen importancia, pero tales que

• el pie esté unido al sombrero por un segmento incluido en $FF'$,

• los lóbulos estén unidos al sombrero por una y otra parte de los focos.

La bola blanca nunca tocará a la roja

Este hongo responde al problema 1: si uno coloca la bola blanca $B$ en el pie y la bola roja $R$ en uno de los lóbulos, no existe trayectoria que una a $B$ con $R$. En efecto, toda trayectoria salida de $B,$ cuando salga del pie, va a rebotar sobre la parte elíptica del sombrero. Después de ese primer rebote, va a regresar al pie o va a rebotar entre los focos. Después de ese rebote entre los focos, va a golpear de nuevo en la parte elíptica del sombrero siguiendo una trayectoria de la elipse que corta el eje focal entre los focos. La historia se repite entonces, y la trayectoria no podrá jamás atravesar el eje focal en el exterior de los focos para llegar a la bola $R$.

No es inmediato que ese hongo responda al problema 2.
En efecto, si es claro que una fuente situada en uno de los lóbulos no iluminará el pie (y recíprocamente), es posible que una fuente situada en la semi-elipse que forma el sombrero ilumine todo el hongo.

Para construir un hongo que responda al problema 2, basta con añadir una volva o taza al pie. Esta última se construye, tal como el sombrero, con ayuda de una semi-elipse y dos lóbulos añadidos en el exterior de los focos. Para iluminar el hongo, se necesita una fuente en el sombrero (para iluminar los lóbulos del sombrero) y una en la volva (para iluminar los lóbulos de la volva). Es posible generalizar esta construcción para obtener un billar para el cual sean necesarias 3 fuentes (o 4, o cualquier otro número), pero ahora se parece muy poco a un hongo. [8]

Un champiñón y su volva

Algunas referencias

1. V. Klee, Is every polygonal region illuminable from some point ? Amer. Math. Monthly, 76 (Feb, 1969). (Una página simple, en inglés, que plantea el problema para los polígonos)
2. H.T Croft, K. J. Falconer, R.K Guy, Unsolved Problems in Geometry, Springer-Verlag, New-York, 1991. (Para los aficionados a la geometría y a los problemas abiertos)
3. J. Rauch, Illumination of bounded domains. Amer. Math. Monthly, 85 (May, 1978). (Para los billares que necesitan numerosas fuentes)
4. G.W. Tokarsky, Polygonal rooms not illuminable from every point. Amer. Math. Monthly, 102, (Dec.,1995). (El mismo problema pero en los polígonos, respondiendo así a la pregunta planteada en la primera referencia de arriba).