Un desafío por semana

Mayo 2015, tercer desafío

Le 15 mai 2015  - Ecrit par  Ana Rechtman
Le 15 mai 2015
Article original : Mai 2015, 3e défi Voir les commentaires
Lire l'article en  

Les proponemos un desafío del calendario matemático 2015 cada viernes, y su solución a la semana siguiente.

Semana 20 :

Dividir el cuadrado en $4$ figuras iguales de tal forma que cada figura contenga una de las letras.

PNG - 27.9 ko

Solución del segundo desafío de mayo :

Enunciado

La respuesta es $a=4$, $b=5$, $c=7$, $d=9$ y $e=11$.

Como $a$, $b$, $c$, $d$ y $e$ son enteros mayores o iguales a $2$, la suma de cuatro de ellos, sin importar cuales, va a valer al menos $8$. Entonces, dado que

$b(a+c+d+e)=155=5\cdot 31,$

donde $5$ y $31$ son números primos, obtenemos que $b=5$ y $a+c+d+e=31$. De la misma forma, la igualdad

$c(a+b+d+e)=203=7\cdot 29$

implica que $c=7$ y $a+b+d+e=29$. En consecuencia,

$a+d+e = 24,$

$a+b+c+d+e = 36.$

De la primera ecuación del sistema, deducimos :

$a(b+c+d+e) = 128,$

$a(36-a) = 2^7.$

Para que $a$ y $36-a$ sean potencias de $2$, las únicas posibilidades son : $a=4$ o $a=32$. Si $a=32$ se tiene

$36=a+b+c+d+e\geq 32+2+2+2+2=40,$

lo que es imposible. Así, $a=4$, y obtenemos :

$e(a+b+c+d) = 275,$

$e(16+d) = 5^2 \cdot 11,$

con $d+e=36-a-b-c=20$. Como $18\leq 16+d<36$, tenemos que $16+d=25$. Entonces, $d=25-16=9$ y $e=11$. Por lo tanto, $a=4$, $b=5$, $c=7$, $d=9$ y $e=11$.

Post-scriptum :

Calendario Matemático 2015 - Bajo la dirección de Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textos : Ian Stewart. 2014, Presses universitaires de Strasbourg. Todos los derechos reservados.

Article original édité par Ana Rechtman

Partager cet article

Pour citer cet article :

— «Mayo 2015, tercer desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

Crédits image :

Image à la une - Makarova Viktoria / SHUTTERSTOCK

Commentaire sur l'article

Laisser un commentaire

Forum sur abonnement

Pour participer à ce forum, vous devez vous enregistrer au préalable. Merci d’indiquer ci-dessous l’identifiant personnel qui vous a été fourni. Si vous n’êtes pas enregistré, vous devez vous inscrire.

Connexions’inscriremot de passe oublié ?