Un desafío por semana

Mayo 2018, segundo desafío

Le 11 mai 2018  - Ecrit par  Ana Rechtman
Le 11 mai 2018
Article original : Mai 2018, 2e défi Voir les commentaires
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Les proponemos un desafío del calendario matemático cada viernes, y su solución a la semana siguiente. No habrá edición del calendario 2018 en papel, ¡tendremos que esperar para la edición 2019 !

Semana 19 :

Sean $a$ y $b$ números enteros positivos, tales que hay exactamente $10$ enteros mayores que $a$ y menores que $b$, y exactamente $1000$ enteros mayores que $a^2$ y menores que $b^2$. Determinar el valor de $b$.

Solución del primer desafío de mayo :

Enunciado

La respuesta es : $3$ litros.

Si $x$ es la cantidad inicial de litros de agua, después de la primera iteración del proceso, nos quedan $\frac{2}{3}x+1$ litros.
Después de la segunda iteración, nos quedan $\frac{2}{3}\left (\frac{2}{3}x+1\right )+1=\frac{2^2}{3^2}x+\frac{2}{3}+1$ litros.
Para la tercera repetición, tendremos
$\frac{2}{3}\left (\frac{2^2}{3^2}x+\frac{2}{3}+1\right )+1=\frac{2^3}{3^3}x+ \frac{2^2}{3^2}+\frac{2}{3}+1$.
Del mismo modo, después de la sexta iteración, tenemos
$\frac{2^6}{3^6}x+\frac{2^5}{3^5}\cdots+ \frac{2^2}{3^2}+\frac{2}{3}+1$ litros.
Luego, calculamos
\[ \begin{eqnarray*} \frac{2^6}{3^6}x+\frac{2^5}{3^5}\cdots+ \frac{2^2}{3^2}+\frac{2}{3}+1&= &3\\ \frac{2^6}{3^6}x&=&3-\left (1+\frac{2}{3}+\cdots+\frac{2^5}{3^5}\right )\\ x & = & \frac{3^7}{2^6}-\frac{3^6}{2^6}\left (\frac{1-\frac{2^6}{3^6}}{1-\frac{2}{3}}\right )\\ x & = & \frac{3^7}{2^6}-\frac{3^6}{2^6}\left (\frac{3^6-2^6}{3^5}\right )\\ x & = & \frac{3^7}{2^6}-\frac{3(3^6-2^6)}{2^6}\\ x & = & \frac{3^7}{2^6}-\frac{3^7}{2^6}+3 = 3\,\mbox{litros}. \end{eqnarray*}\]

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Pour citer cet article :

— «Mayo 2018, segundo desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2018

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