Matemáticas jabonosas

Piste bleue Le 25 février 2011  - Ecrit par  Paul Laurain
Le 25 février 2011  - Traduit par  Edgard Araya, Andrés Navas, Pilar Garcés
Article original : Mathématiques savonneuses Voir les commentaires
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En este artículo se habla acerca de superficies que minimizan su área bajo restricción, un problema mejor conocido bajo el nombre de ’’problema de la burbuja de jabón’’. Después de haber estudiado las propiedades de minimización de las películas de jabón en una primera parte, buscaremos calcular la red más corta que conecta un conjunto de puntos dados, problema conocido como el problema de Steiner.

Películas de jabón

La tensión superficial

Muchos de nosotros hemos tenido la experiencia de llenar un vaso de agua ligeramente por encima del vaso sin que se desborde. Pero, ¿qué hace que esto sea posible ?

Para entender esto, basta ver el agua como un conjunto de moléculas que ejercen fuerzas de atracción entre ellas. En el centro del líquido, una molécula es atraída en todas las direcciones, mientras que en el borde del líquido, una molécula siente una atracción más fuerte proveniente del interior del líquido que de su exterior. Así, las moléculas en el borde del líquido son retenidas por las del interior y actúan como una fina piel. Esta propiedad que tiene un líquido de mantener tensa su superficie es la tensión superficial.

Fuerzas que actúan sobre una molécula de agua en el interior y en el borde del líquido.
Ilustración del efecto de piel.

Soluciones jabonosas y películas de jabón

Una solución jabonosa se compone de moléculas de agua y moléculas de jabón. La molécula de agua está formada por dos átomos de hidrógeno ($H^+$) y uno de oxígeno ($O^{2-}$) lo que da la fórmula $H_2 O$. La estructura de una molécula de jabón es más complicada. Suele estar formado por una cadena de hidrocarburo (es decir, una serie de átomos de carbono e hidrógeno) que termina en un “ácido graso” y sobre todo se vuelve iónico en el agua ; es decir, se separa en dos moléculas cuya carga eléctrica deja de ser neutral. Por ejemplo, la sal del ácido esteárico, $C_{17}H_{35}COO^-Na^+$, se separa en agua en $C_{17}H_{35}COO^-$ (con carga negativa) y $Na^+ $ (carga positiva). Ahora bien, estas dos moléculas están libres en el agua e interactúan con otras moléculas de forma clásica : las cargas de signos opuestos se atraen y las cargas del mismo signo se repelen.

La geometría de $C_{17}H_{35}COO^-$ es bastante particular, ya que la cabeza $COO^-$ (cargada negativamente) es atraída por los dos hidrógenos de la molécula de agua. Se podría pensar que la cabeza también puede ser atraída por los iones $Na^+$. Este también es el caso, pero dado que hay muchas más moléculas de agua que iones $Na^+$ (interacción con los átomos de hidrógeno), se dice que es hidrofílica. Por su parte, la cola es repelida porque tiene muchos átomos de hidrógeno, por lo que se dice que es hidrofóbica. Así, a nivel de la superficie, las cadenas de hidrocarburos tienden a apuntar hacia afuera del líquido.

Estructura de una película de jabón

Es esta estructura la que permite que el agua jabonosa forme una película al sumergir un aro : si se sumerge un aro en agua pura y se saca con el mayor cuidado posible, no se forma película. Por otro lado, si se añade un poco de líquido lavalozas al agua y se repite el experimento, se observa que dentro del aro se forma una película de jabón (siempre que el aro no sea demasiado grande).

Película de jabón

Forma de las películas de jabón

Pero, ¿cuál es la forma de la película ? En la imagen anterior, sin demasiada sorpresa, se trata de un disco que bordea la circunferencia. Pero este caso es demasiado simétrico para poder predecir lo que sucederá con un contorno más general.

Película de jabón bordeada por un contorno torcido.

Para tener una idea más clara de lo que está sucediendo, volvamos a las razones por las que la película permanece ’’tensa’’ : es la tensión superficial, es decir, la interacción entre las moléculas del borde de la película con las moléculas del interior. Sin embargo, para mantener la estructura de nuestra película de esta manera, se requiere una cierta energía [1] del sistema. Esta energía es proporcional al número de moléculas de ácidos grasos necesarias para formar la “piel” de la película. Eso sí, cualquier sistema físico tiende a estar en una posición que requiere la menor cantidad de energía. Podemos ilustrar este hecho considerando una pelota sobre una superficie montañosa.

Pelota sobre una región montañosa.

La energía de nuestra pelota es proporcional a la altura en que se encuentra la pelota porque cuanto más alta se encuentre, más probable es que ruede por el valle. Además, podemos observar que si la dejamos bajar por la pendiente, inmediatamente rodará por la pendiente y subirá, con su impulso, una parte de otra pendiente, luego bajará, subirá una parte de la primera pendiente, etc. Y así, hasta el momento en que se detendrá en el fondo de un valle, donde su energía es mínima. Esto al menos localmente, porque hay una hendidura aún más baja a la izquierda, pero que es inaccesible para la pelota, ya que habría que cruzar la cumbre que es más alta que su punto de partida. Así, nuestro valle es un mínimo local, es decir, cualquier punto cercano es más alto. La posición alcanzada se dice estable, ya que si movemos un poco la pelota, ella volverá automáticamente a esta posición. Queda la pregunta de qué sucede si colocamos la pelota sobre la ’’punta’’ superior del bache. En este caso se trata de un equilibrio pero que es inestable, ya que cualquier perturbación hace que la pelota se deslice hacia un lado o hacia el otro.

Volvamos a nuestra película de jabón que, como la pelota, busca minimizar su energía. Para saber cuál será la forma de nuestra película de jabón, se debe encontrar cuál es el equivalente de la ’’hendidura’’. Pero su energía, que es su capacidad de cambiar de estado, es proporcional a la cantidad de ácidos grasos que forman la ’’piel’’. Podemos pensar entonces en una cadena cuya capacidad de movimiento aumenta con el número de puntos que la componen. Pero este número es simplemente proporcional a la superficie de nuestra película, por lo que nuestra película tenderá a minimizar su área para minimizar su energía. La forma de la película de jabón es la que minimiza su superficie. Aquí también se trata de un mínimo local, es decir que una pequeña perturbación de la película de jabón aumenta necesariamente su superficie como la pelota que, en su hendidura, sólo puede elevarse si se mueve un poco. Por otro lado, no es necesariamente la superficie más pequeña, como nuestra pelota que no está necesariamente en la hendidura más baja.

He aquí algunos ejemplos :

Un hilo torcido

Otro hilo torcido

La burbuja de jabón

En el último ejemplo, la restricción ya no viene dada por el alambre, sino por el aire atrapado en la burbuja. Deducimos [2] que la superficie más pequeña que envuelve un volumen fijo está dada por la esfera. En términos matemáticos, nuestro problema consiste en encontrar, para un contorno dado, qué superficies minimizan localmente su área y tienen nuestro contorno como borde. Resulta que, a pesar de su enunciado relativamente simple, este problema permanece abierto en su total generalidad. Sabemos desde la década de 1930, gracias a Douglas [3] y Radó [4], que para cualquier contorno bastante simple existe un mínimo global, es decir, una superficie minimizante que se adhiere a este contorno. Por otro lado, hubo que esperar el trabajo de Meeks [5] y Yau [6] a principios de los años 80 para saber que esta superficie de minimización no es demasiado complicada, por ejemplo que no se corta si el contorno no es demasiado complicado. Por otra parte, la cuestión del número de mínimos locales todavía está abierta e involucra matemáticas bastante avanzadas como la teoría de Morse en dimensión infinita (una gran palabra para decir que requiere una teoría bastante general y cuya complejidad supera con creces la simplicidad del enunciado de nuestro problema). Esta última pregunta no es un problema puramente matemático ; no olvidemos nuestra pelota que encuentra su equilibrio en mínimos locales, tal como ocurre con nuestra película de jabón : los mínimos locales (no globales) son físicamente posibles.

Un pequeño problema

Para concluir este párrafo propongo un pequeño problema. Aquí se considera un contorno formado por dos círculos paralelos bastante próximos. Si sumergimos nuestro contorno en agua jabonosa y lo sacamos suavemente, observamos la catenoide. Atención : a pesar de lo que uno pueda imaginar, no es el cilindro el que minimiza el área entre los dos círculos sino esta superficie ligeramente curvada. Es una superficie de revolución, lo que no sorprende mucho dada la simetría del contorno [7]. La generatriz (es decir, la curva que debe girar alrededor de una línea recta para generar nuestra superficie) de esta superficie de revolución es la catenaria que, también, encuentra su origen en un problema de minimización con restricciones.

La catenoide

Pero volvamos a nuestra catenoide. ¿Qué sucede si los dos anillos se separan gradualmente ? Inicialmente, la superficie se alarga e inevitablemente la película estalla para formar solo dos discos. ¿Por qué ? Simplemente porque la superficie de los dos discos se vuelve más pequeña que la de la catenoide. Con ello, el problema es el siguiente : Determinar como función del radio $R$ de nuestras circunferencias, cuál es la separación máxima de nuestras dos circunferencias que puede tolerar la catenoide antes de reventar. Una primera solución : experimentar. Segunda solución : hacer un poco de matemática, es decir, calcular el área de la catenoide (encontrarás aquí las fórmulas necesarias) en función del radio y el espacio y compáralo con el doble del área del disco. La única noción que se requiere aquí es la de integral para poder calcular el área de la catenoide.

Solución :

El área de la catenoide de altura $h$ está dada por $4\,\pi\, \rm sh\left(\frac{h}{2}\right)$, por lo que la catenoide estalla cuando $h=2\, \rm sh^{-1}\left(\frac{R^2}{2}\right)=2\, Ln\left(\frac{R^2}{2} +\sqrt{\frac{R^4}{4}+1}\right)$. Aquí $sh$ es una función hiperbólica y $sh^{-1}$ es su inversa. Incluso si esto puede parecer computacional para el profano, podemos recordar que $h$ es una función logarítmica de $R$ y, por lo tanto, necesitamos círculos de radio muy grande si queremos observar una catenoide grande, como en la imagen de arriba.

Esta fue una breve introducción al problema de las ’’burbujas de jabón’’ que el lector experimentado puede seguir en [Isen-78] desde un punto de vista físico y [Opr-00] para un punto de vista matemático.

El camino más corto o el problema de Steiner [8]

El problema en el que nos vamos a centrar ahora es el siguiente :

¿cuál es el camino más corto que conecta un conjunto dado de puntos ?

Desde un punto de vista práctico, se puede imaginar el siguiente problema : una empresa de telecomunicaciones desea crear una red que conecte un cierto número de ciudades. Luego busca minimizar el costo de dicha red, lo que corresponde a la longitud total de los cables que tendrá que usar para conectar todas estas ciudades.

Es bien sabido que el camino más corto entre dos puntos es una línea recta. Por otro lado, ¿cuál es el camino más corto que conecta tres puntos del plano ? ¿O cuál es el camino más corto que conecta tres ciudades ?

Primera respuesta : ¿qué dice el jabón ?

Aquí usaremos la propiedad de una película de jabón para minimizar su área. Tomamos dos láminas de acrílico que unimos con tres pernos cuidando que no queden demasiado cerca entre sí (ver las figuras a continuación). Cuando sumergimos esta construcción en un balde de agua jabonosa y la sacamos suavemente, una película de jabón une nuestros tres pernos, tratando de minimizar su área. Pero siendo constante la anchura entre las placas, el problema de minimizar la superficie se vuelve equivalente al de minimizar la longitud de la huella de nuestra película sobre el acrílico. Así que aquí está la respuesta :

El material.
Dos placas de acrílico conectadas por 3 pernos.
La solución.
La solución.

Se pueden observar dos cosas. La primera es que, en el punto de intersección, las tres líneas se encuentran en ángulos iguales.

En cambio, si elegimos una configuración de puntos tal que el ángulo formado por dos lados del triángulo sea mayor que $120^\circ$, entonces la solución está simplemente compuesta por los dos lados que forman dicho ángulo.


Segunda respuesta : ¿qué dicen las matemáticas ?

Matemáticamente, el problema es el siguiente : dados tres puntos $A$, $B$ y $C$, encuentra un punto $S$ que minimice la siguiente cantidad :
\[L(S)=AS + BS + CS .\]
Aquí también son posibles varios enfoques. Lo más natural para un aficionado al cálculo diferencial sería buscar un extremo de la función $L$ derivándola. Pero vamos a presentar un método puramente geométrico [9] para mostrar que el punto $S$ es o un vértice de nuestro triángulo, o los tres segmentos que unen S con los vértices del triángulo forman entre ellos ángulos de $120^\circ$.

Demostración :

Supongamos que ningún ángulo del triángulo $ABC$ sea mayor que $120^\circ$. Sea $P$ un punto dentro del triángulo.

Consideramos la imagen de $APB$ bajo la rotación de centro $A$ y ángulo $60^\circ$. Denotamos $AP'C'$ la imagen de $APB$ bajo esta rotación.

El triángulo $PAP'$ es equilátero ; de hecho, por construcción es isósceles y tiene un ángulo de $60^\circ$. Entonces $PP'=AP$ y, aún por construcción, $C'P'=BP$. Entonces se tiene :
\[ AP+BP+CP= PP' + P'C' + CP.\]

Luego, minimizar $AP+BP+CP$ equivale a minimizar $PP' + P'C' + CP$. Pero esta última cantidad es mínima si $C'$, $P'$, $P$ y $C$ son colineales. En efecto, $C$ y $C'$ (vértice ’’del’’ triángulo equilátero de lado AB) son independientes de la elección de P. Por lo tanto, debemos elegir $P$ para que la longitud de la línea de puntos $CPP'C$ sea mínima. Pero el camino más corto entre $C$ y $C'$ es una línea recta, por lo que $P$ debe pertenecer a la línea $CC'$. De manera similar construimos los puntos $A'$, $B'$. El punto de Steiner $S$ es entonces el punto de intersección de las rectas $(AA')$, $(BB')$ y $(CC')$.

Podemos comprobar que $SA$, $SB$ y $SC$ efectivamente forman un ángulo de $120^\circ$. Por ejemplo, el ángulo $ASC'$ por construcción mide $60^\circ$, pero haciendo la misma construcción alrededor de $B$ vemos que también tenemos el ángulo $BSC'$ que vale $60^\circ $ . Finalmente, el ángulo $ASB$ vale $120^\circ$. Eso sí, aún falta verificar que esta construcción no funciona si uno de los ángulos del triángulo es mayor a $120$ grado, lo cual dejo al lector... Q.E.D.

Una vez resuelto este problema para tres puntos, surge inmediatamente una pregunta : ¿qué pasa con el caso general ? Es decir, ¿qué sucede si consideramos no tres puntos sino un número arbitrario de puntos ?

Las cosas se ponen difíciles. Para cuatro puntos, todavía hay una ’’fórmula’’. En un caso estándar (es decir, cuando los cuatro puntos forman un cuadrilátero cuyos ángulos no son demasiado grandes), no se crea un punto, sino dos puntos intermedios, como se muestra en la siguiente figura.

Solución para 4 puntos.
Solución para 4 puntos.

Más allá de cuatro puntos ya no hay ’’fórmula’’ para calcular efectivamente la solución óptima. Por otra parte, en la década de 1960 se inventó un algoritmo (gracias a Melzak) que permitía encontrar la red óptima en un número finito de pasos. Éste no es del todo obvio ya que, a primera vista, existe una infinidad de configuraciones posibles para los puntos de Steiner. La idea de Melzak es bastante simple, aunque su realización es muy técnica. Llamemos punto de Steiner a un punto que debemos agregar para obtener la red óptima, como el punto dentro del triángulo o los dos puntos de la figura anterior. La idea de Melzak se basa en los siguientes dos hechos :

  • Un punto base está conectado como máximo a otros tres puntos
  • Un punto de Steiner está conectado a otros tres puntos y los ángulos formados por las aristas son todos iguales a $120^\circ$.

Con la ayuda de estos dos hechos, Melzak demuestra que solo hay un número finito de posibles puntos de Steiner. Para demostrar esto, utiliza construcciones geométricas como la realizada para construir el punto de Steiner de un triángulo. Siendo esta prueba constructiva, también proporciona un algoritmo para construir estos puntos. Entonces hay un número finito de caminos posibles, los calculamos todos y tomamos el más corto. El costo de este algoritmo es faraónico, ya que la cantidad de operaciones a realizar para calcular la red óptima que conecta $n$ puntos es proporcional a $n!=n\times (n-1)\times \dots \times 2\times 1$. En los últimos veinte años se ha avanzado mucho y tenemos el algoritmo calculando la solución exacta para $n<10000$ en un tiempo razonable.

Para finalizar, presentamos una aplicación a la red mínima que une las grandes ciudades de América del Norte, una calculada con jabón y la otra usando un algoritmo exacto. Se observará que las soluciones son diferentes ya que el jabón simplemente da un mínimo local.

Red óptima que une las principales ciudades de América del Norte

Finalmente, esta es una pequeña aplicación [10] desarrollada con Aurélien Pardon y Marc Lasson, que da una solución aproximada al problema de Steiner. El algoritmo utilizado aquí simula lo que hace el jabón y, por lo tanto, encuentra un mínimo local. Por otro lado, es mucho más rápido que el algoritmo exacto ya que, en un ordenador personal, trabaja con más de 1 millón de puntos en pocos minutos.

[Isen-78]
Isenberg, Cyril,
The science of soap films and soap bubbles
, Tieto Ltd. , 1978

[Opr-00]
Oprea, John, The mathematics of soap films : explorations with Maple, American Mathematical Society , 2000

Post-scriptum :

Gracias a Clémence, Joël Merker y François Gramain por su trabajo de revisión que ha mejorado mucho mi texto original.

Article original édité par Petru Mironescu

Notes

[1La energía de un sistema físico es la capacidad de este sistema para modificar su estado.

[2empíricamente, matemáticamente es otra historia ; este problema se conoce con el nombre de problema isoperimétrico para el que se debió esperar hasta el siglo XIX para una solución rigurosa

[3Matemático estadounidense 1897-1965, recibió una de las dos primeras medallas Fields en 1936 por resolver el problema conocido como el problema de Plateau

[4Matemático húngaro 1895-1965

[5Matemático estadounidense (1947-...)

[6Matemático chino-estadounidense (1949-...), medalla Fields en 1982

[7En física se suele decir que ’’la simetría de las causas hay que buscarla en la simetría de los efectos’’. En matemáticas también nos gusta pensar así, pero a diferencia de nuestra disciplina, no hay un teorema general que englobe la máxima del físico sino teoremas que examinan cada caso en particular.

[8Nombrado en honor a un matemático suizo, Jakob Steiner (1796-1863).

[9La demostración presentada se debe a un matemático húngaro, Tibor Galai (1912-1992)

[10Haga clic en la pantalla para definir los puntos, luego en « kruskal », luego en « steiner ». Para que los cálculos se realicen rápidamente, es mejor usar Chrome como navegador. La aplicación no funciona con Internet Explorer.

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Pour citer cet article :

Andrés Navas, Edgard Araya, Pilar Garcés — «Matemáticas jabonosas» — Images des Mathématiques, CNRS, 2011

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