Procesos de crecimiento

Le 14 janvier 2010  - Ecrit par  Benoît Kloeckner
Le 8 avril 2020  - Traduit par  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
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Los procesos de crecimiento son una categoría particular de procesos aleatorios de construcción de formas geométricas. Aquí solo voy a hablar de ciertos casos especiales, introducidos, creo, por Daniel Richardson en 1973.

Presentación

La idea es la siguiente : uno elige un número $p$ entre $0$ y $1$ y se vale de una moneda alterada, que da sello (o cruz, o pila) con una probabilidad $p$ y cara con probabilidad $1-p$. Uno comienza con un damero (tablero de damas) especial : todas, salvo una de las casillas, es blanca. Nos situamos en la casilla negra y, para cada una de las cuatro casillas adyacentes, se lanza la moneda : si el resultado es sello, se colorea la casilla de negro.

Se continúa así, lanzando en cada etapa la moneda para cada casilla blanca adyacente a (al menos) una casilla negra y coloreando de negro aquellas donde sale sello.

A medida que se sigue, se colorea poco a poco todo el damero. Uno se plantea la siguiente pregunta divertida : ¿qué forma toma la parte coloreada de negro ? Lo que nos interesa aquí no es el tamaño. Uno puede imaginarse por ejemplo que mira al damero desde un punto cada vez más alejado, de manera de ver siempre la parte negra más o menos del mismo tamaño.

Aquí hay algunas imágenes que se obtienen de esa manera.

10 iteraciones
$p=20\,\%$ $p=50\,\%$ $p=80\,\%$
PNG - 5.4 ko
PNG - 5.7 ko
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$\quad$

20 iteraciones
$p=20\,\%$ $p=50\,\%$ $p=80\,\%$
PNG - 6.1 ko
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PNG - 4.5 ko

$\quad$

50 iteraciones
$p=20\,\%$ $p=50\,\%$ $p=80\,\%$
PNG - 6.5 ko
PNG - 6.9 ko
PNG - 5 ko

$\quad$

100 iteraciones
$p=20\,\%$ $p=50\,\%$ $p=80\,\%$
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PNG - 7.7 ko
PNG - 5 ko

$\quad$

Y finalmente, para $p=50\,\%$, lo que se puede obtener con 500 iteraciones.

PNG - 7.1 ko

$\quad$

Un resultado sorprendente y una pregunta abierta

El resultado que demuestra Richardson puede parecer sorprendente : la forma construida por eso proceso aleatorio converge (casi seguramente) hacia una ’’forma límite’’ que depende de $p$, pero que es determinista y no aleatoria.
Es decir, los lanzamientos de monedas terminan por contar poco, y si uno recomienza muchas veces el proceso con un mismo valor de $p$ y un gran número de etapas, las formas obtenidas se parecerán probablemente mucho (de lejos).

Hasta ahora, no se sabe describir la forma límite en función de $p$. Algunas informaciones han sido obtenidas cuando $p$ es cercano de $1$, pero a mi conocimiento, no se sabe casi nada acerca de la forma límite cuando $p$ tiende hacia $0$. Richardson había conjeturado que tendía hacia un disco, pero simulaciones numéricas parecen indicar que la velocidad de crecimiento es un poco más débil en la dirección de las diagonales que en las direcciones horizontal y vertical.

Lleno de variantes

Se puede considerar numerosas variantes de este problema. Vea por ejemplo los sitios web de Régine Marchand y de Olivier Garet.
Por ejemplo, se puede simplemente practicar el proceso en dimensión más grande (esencialmente, todo lo que he dicho más arriba se mantiene cierto). Esto da, por ejemplo, la imagen siguiente ($p=20\,\%$, 60 iteraciones) :

PNG - 733.8 ko

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Pour citer cet article :

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «Procesos de crecimiento» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

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