Promedios (I)

Le 19 avril 2009  - Ecrit par  Benoît Kloeckner
Le 1er mai 2019  - Traduit par  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
Article original : Moyennes (I) Voir les commentaires
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Todo el mundo sabe lo que es el promedio de varios números, aunque sea por haberse enfrentado a él durante la época escolar. Sin embargo, es menos conocido que existen otras nociones de promedio. Por supuesto, hay promedios ponderados que dan un peso diferente a los números considerados (los famosos coeficientes que distinguen entre una tarea para el hogar y una tarea en clases), pero aquí quiero hablar de promedios redicalmente distintos, al menos a primera vista.

Algunos ejemplos

Comencemos por describir algunos ejemplos de promedios. Para esto, se va a dar fórmulas, pero no son muy complicadas. Si te parecen misteriosas, estamos bien : ¡mi objetivo es desmitificarlas de inmediato !

Escribamos $x$ e $y$ dos números cuyo promedio se quiere calcular. Cada una de las fórmulas de acá abajo tiene una generalización con tantos números como se desee, pero conformarse con dos números permite mantener ligeras las fórmulas.

Promedio Fórmula
Aritmético $\displaystyle A(x,y) = \frac{x+y}2 $
Geométrico $\displaystyle G(x,y) = \sqrt{x y}$
Armónico $\displaystyle H(x,y) = \frac{2xy}{x+y}$
Cuadrático $\displaystyle Q(x,y) = \sqrt{\frac{x^2+y^2}2}$
Cúbico $\displaystyle C(x,y) = \sqrt[3]{\frac{x^3+y^3}2}$

El promedio aritmético es, por lo tanto, el promedio ’’simple’’. Digamos que uno podría completar este cuadro con los promedios del mismo tipo que los promedios cuadrático y cúbico, pasando a los grados 4, 5, etc.
Vamos a ver que se puede incluso generalizar mucho más que eso.

¿Qué es un promedio ?

Uno puede preguntarse por qué se merecen las fórmulas anteriores el nombre de ’’promedio’’. El primer elemento de respuesta viene de ciertas propiedades particulares que ellos verifican. Se espera en particular de un promedio $M$ que $M(x,y)$ esté siempre entre $x$ e $y$, que $M(x,x)=x$, y que $M(x,y)$ sea creciente en cada una de las dos variables, es decir que aumente si se aumenta $x$ sin variar $y$, o si se aumenta $y$ sin variar $x$. Se puede comprobar fácilmente que todos los promedios de arriba satisfacen esas propiedades, con la condición a veces de restringir la elección de $x$ e $y$. Por ejemplo, el promedio aritmético comprueba las propiedades deseadas para todos los $x$ e $y$, mientras que el promedio cuadrático sólo las comprueba para $x$ e $y$ positivos o nulos. El promedio geométrico ni siquiera es definido si, por ejemplo, $x>0$ e $y<0$. A cada promedio le corresponde un cierto intervalo de definición. Ya volveremos sobre esto.

Pero hay un vínculo bastante más fuerte entre ellos. Veamos por ejemplo cómo está construido el promedio cuadrático : se toma los dos números $x$ e $y$, se los lleva al cuadrado, se saca el promedio aritmético de esos cuadrados y se pasa a la raíz cuadrada. Por lo tanto, se ha combinado el promedio aritmético con una función, en este caso, la función $x\mapsto x^2$ y su inversa. Esta manera de combinar con una función ’’de ida y vuelta’’ se llama en matemáticas ’’conjugar’’, o a veces ’’regrediente’’, según el contexto.

De la misma manera se puede construir los promedios de arriba, reemplazando la elevación al cuadrado por otras funciones. Hay que elegir funciones invertibles, como $x\mapsto x^2$ cuya inversa es $x\mapsto \sqrt{x}$, vistas como funciones de $[0,+\infty[$ en sí mismo. Es ahí cuando aparece claramente el intervalo de definición : la función $x\mapsto x^2$ no es invertible de $]-\infty,+\infty[$ sobre $[0,+\infty[$ ya que, por ejemplo, el número $1$ es obtenido como la imagen de $1$ y de $-1$.

Aquí están las funciones que permiten encontrar los diferentes promedios que se han visto y los intervalos de definición asociados.

Promedio Fórmula Función Intervalo de definición
Aritmético $\displaystyle A(x,y) = \frac{x+y}2 $ $x\mapsto x$ $]-\infty,+\infty[$
Geométrico $\displaystyle G(x,y) = \sqrt{x y}$ $x\mapsto\ln(x)$ $]0,+\infty[$
Armónico $\displaystyle H(x,y) = \frac{2xy}{x+y}$ $\displaystyle x\mapsto \frac 1x$ $]0,+\infty[$
Cuadrático $\displaystyle Q(x,y) = \sqrt{\frac{x^2+y^2}2}$ $x\mapsto x^2$ $[0,+\infty[$
Cúbico $\displaystyle C(x,y) = \sqrt[3]{\frac{x^3+y^3}2}$ $x\mapsto x^3$ $[0,+\infty[$

Este punto de vista permite definir muy fácilmente los promedios geométricos, armónicos, etc. de más de dos números, ya que nos lleva al promedio aritmético. Por ejemplo, para calcular el promedio armónico de tres números estrictamente positivos $x$, $y$, $z$, se saca el promedio de sus inversos y se toma el inverso (ya que $x\mapsto 1/x$ es su propio recíproco), lo que da \[H(x,y,z)=\frac{1}{\frac13 \left(\frac1x+\frac1y+\frac1z\right)}.\]
Reduciendo al mismo denominador, se puede expresar este promedio bajo la forma
\[H(x,y,z)=\frac{3xyz}{yz+xz+xy}.\]

Uno puede también definir muy fácilmente promedios ponderados por la misma razón.
Por ejemplo, el promedio cuadrático de $x$ con coeficiente $2$ e $y$ con coeficiente $3$
es
\[\sqrt{\frac{2x^2+3y^2}5}.\]

En una próxima nota se verá diferentes promedios un poco más en detalle, y se tratará de interpretarlos.
El objetivo será el siguiente : mostrar que, a veces, el promedio aritmético no es pertinente, pero que a menudo se puede encontrar un promedio diferente que sí lo es.

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Pour citer cet article :

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «Promedios (I)» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

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