Seudoproyecciones de superficies

Piste noire Le 24 juin 2010  - Ecrit par  Jean-François Colonna
Le 5 mars 2020  - Traduit par  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
Article original : Pseudo-projections de surfaces Voir les commentaires
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Numerosas superficies del espacio tridimensional pueden ser definidas con ayuda de tres matrices y, por lo tanto, de tres imágenes monocromas ; de esta forma, se les puede aplicar las herramientas de tratamiento de imágenes. Una dinámica arbitraria para tal superficie podrá entonces ser definida por una animación. Esto puede generalizarse a dimensiones superiores y utilizarse para definir procedimientos de autotransformación de imágenes.

Imágenes

Una imagen en blanco y negro (llamada monocroma) está definida como un cuadro rectangular (o matriz) de puntos (o pixeles). Cada punto está codificado ahí por un valor numérico, cuyos valores mínimo y máximo posibles representan el negro y el blanco respectivamente. En general se trata de números naturales comprendidos entre 0 y 255, pero también pueden ser utilizados números reales (por ejemplo entre -1 y +1) con el fin de mejorar la precisión. Nuestras retinas contienen dos tipos de sensores : los bastoncillos (sensibles a la intensidad luminosa) y tres tipos de conos (sensibles respectivamente a los tres colores primarios : el rojo, el verde y el azul). Una imagen en colores estará, por lo, tanto definida -según los principios de la síntesis llamada aditiva - como la unión de tres imágenes monocromas, cada una correspondiente a uno de los tres colores primarios.

Superficies

Numerosas superficies en un espacio de dimensión 3 pueden ser definidas con ayuda de un conjunto de tres ecuaciones :

\[ \left\{\begin{array}{c} X = F_x(u,v) \\ Y = F_y(u,v) \\ Z = F_z(u,v) \end{array}\right. \]

con :

\[u \in [U_{min},U_{max}] \quad \text{y} \quad v \in [V_{min},V_{max}]\]

Ejemplo de una esfera :

\[ \left\{\begin{array}{lcr} F_x(u,v) & = & R \cdot \text{sin}(u)\text{cos}(v) \\ F_y(u,v) & = & R \cdot \text{sin}(u).\text{sin}(v) \\ F_z(u,v) & = & R \cdot \text{cos}(u) \end{array}\right. \]

con :

\[u \in [0,\pi] \quad \text{y} \quad v \in [0,2\pi]\]

define una esfera de radio $R$ centrada en el origen, cuyas coordenadas $u$ y $v$ son llamadas respectivamente latitud y longitud.

$[U_{min},U_{max}] \times [V_{min},V_{max}]$ define un campo rectangular $D$ de dimensión 2 en el plano $\{u,v\}$.

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Si $D$ es numerizado mediante una grilla rectangular bidimensional (hecha de $N_u \times N_v$ puntos), las tres coordenadas $X,Y$ y $Z$ pueden ser definidas con ayuda de tres matrices rectangulares :

\[ \left\{\begin{array}{c} X = M_x(i,j) \, (= F_x(u,v))\\ Y = M_y(i,j) \, (= F_y(u,v))\\ Z = M_z(i,j) \, (= F_z(u,v)) \end{array}\right. \]
con
\[ i=f(u,U_{min},U_{max},N_u) \quad \text{y} \quad j=f(v,V_{min},V_{max},N_v),\]
donde $f$ y $g$ designan dos funciones lineales que el lector ciertamente puede adivinar...

Entonces es posible definir una superficie con ayuda de tres matrices. Si una imagen en blanco y negro es una matriz, una superficie podrá ser definida gracias a tres imágenes (arbitrarias) blanco y negro. o incluso gracias a una imagen (arbitraria) en colores : de cierta manera, se trata de un principio holográfico. Esto permitirá en especial hacer con las superficies todo lo que es posible hacer con las imágenes (filtrados, interpolaciones, operaciones aritméticas, deformaciones,...), como lo mostrarán los siguientes ejemplos. A la pasada se notará que, por lo tanto, es posible asociar una superficie a una imagen ’’natural’’ (por ejemplo, capturada en la naturaleza con ayuda de una cámara fotográfica). Pero, en general, la superficie así obtenida es decepcionante y sin interés estético, ya que es demasiado complicada (esto podrá verificarse más adelante gracias a las superficies obtenidas con ayuda de campos fractales). Los mejores resultados serán, por lo tanto, obtenidos a partir de imágenes simples y regulares.

Precisemos esto usando el ejemplo de la esfera. Aquí están las tres matrices $M_x$, $M_y$ y $M_z$ (la escala de gris utilizada para visualizar valores varía entre -1 y +1) :

$M_x(i,j) = $
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$ = F_x(u,v) = R \cdot\text{sin}(u)\text{cos}(v)$

$M_y(i,j) = $
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$= F_y(u,v) = R \cdot\text{sin}(u)\text{sin}(v)$

$M_z(i,j) = $
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$ = F_z(u,v) = R \cdot\text{cos}(u)$

La superposición aditiva de esas tres imágenes en blanco y negro da la siguiente imagen en color :

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Esta es, por lo tanto, la pseudoproyección de la esfera. Los niveles respectivos de rojo, verde y azul en el punto $\{i,j\}$ dan las coordenadas tridimensionales $\{F_x(u,v),F_y(u,v),F_z(u,v)\}$ de un punto de la esfera. Evidentemente, las tres matrices ’’superpuestas’’ definen solo las coordenadas de un número finito de puntos. Las coordenadas de otros puntos son obtenidas por interpolaciones utilizando puntos definidos y vecinos. La esfera es entonces representable por una nube ’’densa’’ de puntos, y para visualizar un entramado en longitud-latitud basta con visualizar solo algunos puntos :

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En lo que se refiere al coloreado de esta esfera, evidentemente es a priori arbitrario, pero en casi todos los ejemplos presentados en este artículo, los tres componentes rojo, verde y azul están elegidos proporcionales a las gradientes de $F_x$, $F_y$ y $F_z$, respectivamente [1].

Aquí hay algunos ejemplos :

  • un plano
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  • un ’’plano pseudogaussiano’’
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  • un ’’plano espiralante’’
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  • un ’’plano fractal’’ con salientes
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  • una esfera ’’arrugada’’ (obtenida por perturbación de la pseudoproyección de la esfera)
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  • un toro ’’arrugado’’ (obtenido por perturbación de la pseudoproyección del toro)
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JPEG - 268.4 ko
  • una concha (superficie de Jeener 1)
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  • la cinta de Möbius
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  • la botella de Klein
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  • una botella de Klein ’’arrugada’’ (obtenida por perturbación de su pseudoproyección )
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  • la triple botella de Bonan-Jeener-Klein
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  • la superficie de Boy
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  • una superficie fractal (dos iteraciones)
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  • una superficie fractal (cuatro iteraciones)
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  • una superficie fractal (cinco iteraciones)
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  • una superficie fractal (numerosas iteraciones...)
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  • la adición de una esfera y de la triple botella de Bonan-Jeener-Klein
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  • una mezcla ’’gaussiana’’ de una esfera y de la cinta de Möbius
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  • una interpolación de Fourier entre una esfera y la triple botella de Bonan-Jeener-Klein
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  • una interpolación fractal entre una esfera y la triple botella de Bonan-Jeener-Klein
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Animación de superficies

De este modo, una superficie tridimensional puede ser definida gracias a una imagen en colores. Una dinámica arbitraria de una superficie podrá entonces ser definida por un conjunto de imágenes en colores, es decir, por una animación en colores.

Aquí hay algunos ejemplos :

  • una interpolación entre dos familias de toros entrelazados
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  • una superficie fractal dinámica (cuatro iteraciones)
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  • un filtrado gaussiano dinámico de la triple botella de Bonan-Jeener-Klein
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  • una interpolación entre una ’’doble esfera’’ y un toro
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  • una interpolación entre un cilindro y un toro
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  • una interpolación entre una concha (superficie de Jeener 1) y una esfera
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  • una interpolación entre la cinta de Möbius y una esfera
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  • una interpolación entre la botella de Klein y una esfera
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  • una interpolación entre la cinta de Möbius y la botella de Klein
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JPEG - 262.9 ko
  • una interpolación entre la triple botella de Bonan-Jeener-Klein y una esfera
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  • la evolución de una esfera utilizando el atractor de Lorenz [2]
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  • la evolución de la botella de Klein utilizando el atractor de Lorenz
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Variedades de dimensión 3

Esto puede extenderse a variedades tridimensionales. De este modo, numerosas variedades de dimensión 3 en un espacio de dimensión 3 pueden ser definidas con ayuda de un conjunto de tres ecuaciones :

\[ \left\{\begin{array}{c} X = F_x(u,v,w) \\ Y = F_y(u,v,w) \\ Z = F_z(u,v,w) \end{array}\right. \]

con :

\[u \in [U_{min},U_{max}], \quad v \in [V_{min},V_{max}] \quad \text{y} \quad w \in [W_{min},W_{max}]\]

donde $[U_{min},U_{max}] \times [V_{min},V_{max}] \times [W_{min},W_{max}]$ define entonces un campo rectangular $D$ de dimensión 3. Si $D$ es numerizado mediante una grilla rectangular (hecha de $N_u \times N_v \times N_w$ puntos), las tres coordenadas $X$, $Y$ y $Z$ pueden ser definidas con la ayuda de un conjunto de $N_w$ triples de matrices rectangulares :

\[ \left\{\begin{array}{c} X = M_x(i,j,k) \\ Y = M_y(i,j,k) \\ Z = M_z(i,j,k) \end{array}\right. \]

con

\[ i=f(u,U_{min},U_{max},N_u), \quad j=g(v,V_{min},V_{max},N_v) \quad \text{y} \quad j=h(w,W_{min},W_{max},N_w),\]

donde $f$, $g$ y $h$ designan tres funciones lineales simples.

Entonces es posible definir una variedad de dimensión 3 con ayuda de un conjunto de $N_w$ triples de matrices. Recordemos que una animación es un conjunto de $N$ imágenes en colores y que, de este modo, una variedad de dimensión 3 puede ser definida gracias a una animación (arbitraria) en colores...

Aquí hay algunos ejemplos :

  • una variedad ’’al estilo Möbius’’ tridimensional
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  • una variedad tridimensional de Jeener-Möbius
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  • una variedad fractal tridimensional
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JPEG - 313.3 ko
  • una variedad tridimensional definida por medio de una interpolación entre la triple botella de Bonan-Jeener-Klein y una esfera
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Autotransformaciones de imágenes

Así, cualquier imagen en colores puede ser utilizada para definir una superficie. Además, esta imagen (vista como una textura) puede ser aplicada, como un papel pintado elástico, sobre su superficie asociada (utilizando las coordenadas $u$ y $v$ como las coordenadas cartesianas de la textura). Es entonces preferible simetrizar esta textura con el fin de evitar discontinuidades en el caso de superficies cerradas. Por ejemplo, la esfera

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está definida por la siguiente imagen

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como fue descrito anteriormente. Después, su simetrización da nacimiento a la textura llamada canónica de la esfera.

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Esta imagen-textura es torcida y deformada durante esta aplicación, en especial en los polos, hacia los cuales convergen los meridianos. Este proceso se llama autotransformación de la imagen inicial.

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Para hacer eso, las coordenadas tridimensionales de la superficie $\{X,Y,Z\}$ son proyectadas en un plano en $\{X_p,Y_p\}$, y la autotransformación de la imagen inicial (matrices $\{M_x,M_y,M_z\}$) está definida entonces por $\{M_x(X_p,Y_p),M_y(X_p,Y_p),M_z(X_p,Y_p)\}$, con las coordenadas $\{X_p,Y_p\}$ habiendo sido por supuesto convenientemente renormalizadas.

Aquí hay algunos ejemplos de autotransformaciones de imágenes sin presentar las superficies asociadas :

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JPEG - 290.6 ko
JPEG - 125.9 ko
JPEG - 254.6 ko
JPEG - 128.1 ko
JPEG - 247.8 ko
JPEG - 102.5 ko
JPEG - 209.9 ko
JPEG - 107.1 ko
JPEG - 205.8 ko
JPEG - 110.2 ko
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Esto es lo que se obtiene al aplicar un filtrado de Fourier a la imagen inicial, con el fin de alisarla.

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Este procedimiento puede ser aplicado a animaciones en colores, dando así nacimiento a complejas animaciones de texturas.

Aquí hay algunos ejemplos :

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JPEG - 496.7 ko
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Post-scriptum :

Este artículo, en su versión original, está disponible en esta página.

Article original édité par Aurélien Alvarez

Notes

[1Uno podría imaginar coloreando la superficie directamente con ayuda de su pseudoproyección, ya que se trata de una imagen en colores. Esto no tiene interés ya que entonces los colores rojo, verde y azul serían respectivamente proporcionales a las coordenadas $X,Y$ y $Z$, dando entonces simplemente degradaciones en forma paralela a los tres ejes, y por ejemplo, del componente rojo a lo largo del eje de las abcisas.

[2Los colores ${R,V,B}$ de cada punto de la pseudoproyección de la esfera son utilizados como condición inicial ${X_0,Y_0,Z_0}$ del atractor de Lorenz y evolucionan luego por integración del sistema de ecuaciones diferenciales correspondiente.

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Pour citer cet article :

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «Seudoproyecciones de superficies» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

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