Rigor y fecundidad en matemáticas

Le 17 avril 2010  - Ecrit par  Pierre de la Harpe
Le 26 juillet 2019  - Traduit par  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
Article original : Rigueur et fécondité en mathématiques Voir les commentaires
Lire l'article en  

El rigor en matemáticas : ¿una exigencia absoluta ?, ¿una marca de fábrica ?, ¿una condición sine qua non ? ¡Sí !, muy a menudo, y para bien.

Pero también para mal, en este caso debido a que la obsesión por el rigor puede jugar contra la eficacia [1], o porque el vago recuerdo del encantamiento rigorista es lo que queda cuando se ha olvidado todas las matemáticas escolares.
Son los peligros bien conocidos de una pretensión solitariamente placentera por querer reducir las matemáticas al único papel de modelo en oro puro del rigor encarnado.

El tema es amplio y voy a limitarme aquí a hacer eco de algunos comentarios históticos. Estos son tomados de un artículo de difusión de Max Dehn, publicado en 1928 [2]. Max Dehn (1878-1952) fue un matemático alemán cuyos trabajos en geometría, topología y teoría de grupos han tenido una inmensa influencia ;
además, cuando era profesor en Frankfurt (1922-1935), dirigió un seminario de historia de las matemáticas que fue un modelo incomparable
 [3] (vea también [4]).

JPEG - 8.1 ko
Max Dehn

Los antiguos matemáticos griegos, lejos de ser siempre caracterizados por el extremo rigor que uno conserva de ellos, tuvieron sus períodos de temeridad.
Pero fue un descubrimiento mayor, la irracionalidad de la raíz cuadrada de 2
 [5], lo que les obligó a adoptar un rigor sin precedentes. En efecto, ellos se dieron cuenta de que muchos de sus anteriores argumentos eran erróneos, ya que ellos consideraban todos los números (por ejemplo $\sqrt 2 \approx 1,414213562...$) como fracciones de números naturales (por ejemplo $\frac{7}{5} = 1,4$). De ese modo, una identidad de la forma $xy = yx$ es simple de justificar cuando $x$ e $y$ son naturales, ya que la superficie de una mesa de longitud $x$ y de anchura $y$ evidentemente es igual a la superficie de una mesa de longitud $y$ y de anchura $x$ : basta con contar el número de cuadrados de lado $1$ necesarios para recubrir la mesa. La justificación se extiende al caso de números $x$ e $y$ que sean racionales (esto es, números que son fracciones de números naturales). ¿Pero por qué $\pi (\sqrt{2}) = (\sqrt{2}) \pi$ ? Para ver la respuesta griega en un período de gran rigor, lea el quinto libro de los Elementos de Euclides [6] . La respuesta ilustra la importancia de un enunciado de Arquímedes, vinculado al ’’principio de agotamiento’’, que se puede formular en términos modernos como sigue : dados dos números reales $x$ e $y$ estrictamente positivos, existe un natural $n$ tal que $n x > y$.

La mayoría de los grandes descubridores del siglo XVII usaban a menudo argumentos ingenuos, no rigurosos en el sentido actual del término. Tal fue el caso de Kepler (1571-1630), a quien la intuición y los cálculos le impusieron la concepción heliocéntrica del sistema solar. O Cavalieri (1598-1647), ese precursor del cálculo integral, de quien Galileo decía ’’son pocos, siempre que haya, quienes después de Arquímedes han penetrado tan lejos y tan profundamente en la ciencia de la geometría.’’ O Newton (1643-1727), que fue tanto alquimista como matemático y físico. O Leibniz (1646-1716), a la vez matemático, genealogista, diplomático y filósofo. Y Dehn acentuaba : ’’En el siglo XVIII nadie respetaba el rigor griego. La nueva raza de titanes encontraba las rigurosas reglas de los antiguos muy especiales e inhibidoras.’’ Habían asimilado tan bien los números irracionales, que el rigor griego después de la caída (después del descubrimiento de la irracionalidad de $\sqrt 2$) ya no les era más necesario.

Aquel rigor griego volvió a la actualidad hacia fines del siglo XVIII, especialmente en conexión con nuevos trabajos de geometría proyectiva.
En el siglo XIX, los matemáticos más originales (Gauss, Cauchy, Dirichlet, Riemann, Weierstrass, ...) dedicaron mucha energía en establecer los fundamentos rigurosos para el análisis, después de la revolución personificada por Newton y Leibniz.

Y habría mucho que decir (y comprender) respecto al tema del rigor y de la temeridad en la aventura matemática que va desde los descubrimientos de Cantor acerca del infinito (desde 1874 [7]) a los progresos de la teoría de conjuntos de los años 1920 (el sistema ZFC), pasando por la formulación del axioma de elección (Zermelo, 1904) ; vea [8].

En los períodos recientes, son tal vez los físicos teóricos quienes han obrado más ejemplarmente para la fecundidad, y los matemáticos quienes tratan de asegurar en su estela el rigor necesario. El lector matemático está invitado a (re)meditar la memorable controversia producida en 1993-94 por un artículo de Jaffe y Quinn [9]. Agreguemos aquí el recuerdo de un congreso que había tenido lugar sobre una colina con nombre predestinado, el Monte Verità : el topólogo y geómetra Raoul Bott (1923-2005) decía en términos llenos de imágenes, entre dos estallidos de su cálida risa : ’’es nuestro papel, de nosotros los matemáticos, tomar a cargo la educación de todos las magníficas bestias engendradas por la fecundidad de los físicos’’.

JPEG - 16.8 ko
Monte Verità

El rigor no siempre es la última palabra de nuestro asunto. Sería peligroso dejar a los rigoristas extremos contaminar la enseñanza por medio de ese dañino subproducto del rigor que es el formalismo hueco, que impide tanto la eficacia como la curiosidad. Y sería por otra parte engañoso permitir creer que el paisaje matemático es una realidad en una sola dimensión, estirándose entre dos extremos que serían la especulación y el rigor. En conclusión (bien provisoria), tengo ganas de asimilar la fecundidad en lo ’’verdadero’’, la ausencia de rigor en lo ’’falso’’, el rigorismo en lo ’’insignificante’’, y citar (de [10], página 132) una broma lanzada por el matemático René Thom (1923-2002) durante un almuerzo con el psicoanalista Jacques Lacan (1901-1981) :

’’Lo que limita lo verdadero no es lo falso, es lo insignificante.’’

$ \$

Lacan le había contestado :

’’Eso me estanca, eso me estanca.’’

Notes

[1Bernard Beauzamy, Mathématiques : rigueur ou efficacité ? Artículo publicado (en forma abreviada)
en el boletín de la ’Union des Professeurs de Spéciales’, julio 2001,
aquí.

[2Max Dehn, Über die geistige Eigenart des Mathematikers, Frankfurter Universitätsreden, XXVIII (1928).
Traducción inglesa : The Mentality of the Mathematician. A Characterization, The Mathematical Intelligencer 5$^2$ (1983) 18-26.

[3Carl Ludwig Siegel, Zur Geschichte der Frankfurter Mathematischen Seminars, Frankfurter Universitätsreden 36 (1964) = Gesammelte Abhandlungen III, 462—474. Traducción inglesa : On the history of the Frankfurt mathematics seminar, The Mathematical Intelligencer 1$^4$ (1979), 223—232.

[4Max Dehn, Mathematics,
600 B.C.-400 B.C., 400 B.C.-300 B.C., 300 B.C.-200 B.C., 200 B.C.-600 A.C
, The American Mathematical Monthly 50 (1943), 357-360, 411-414 ; y 51 (1944), 25-31, 149-157.

[5Que se demuestra como la de la raíz de 5. Vea la proposición 2 de Le nombre d’or en mathématique, Images des mathématiques, 14 enero 2009.

[6Vea « Livre V des Éléments d’Euclide » en Wikipedia (en francés), así como Fabio Acerbi, Euclide.

[7Patrick Dehornoy, Cantor et les infinis,
Gazette des mathématiciens 121 (2009), 29—46.

[8Patrick Dehornoy, Théorie axiomatique des ensembles,
texto preparado para la Encyclopedia Universalis.

[9Arthur Jaffe y Frank Quinn,« Theoretical mathematics » : toward a cultural synthesis of mathematics and theoretical physics, Bulletin of the American Mathematical Society 29 (1993), 1-13. Y las respuestas, en la misma publicación, 30 (1994), 161-211.

[10Prédire n’est pas expliquer, conversaciones de Emile Noël con René Thom, redactadas por Yves Bonin e illustrada por Alain Chenciner, Editions Eshel, 1991.

Partager cet article

Pour citer cet article :

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «Rigor y fecundidad en matemáticas» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

Commentaire sur l'article

Laisser un commentaire

Forum sur abonnement

Pour participer à ce forum, vous devez vous enregistrer au préalable. Merci d’indiquer ci-dessous l’identifiant personnel qui vous a été fourni. Si vous n’êtes pas enregistré, vous devez vous inscrire.

Connexions’inscriremot de passe oublié ?