Tiras de caracoles

Le 2 juillet 2012  - Ecrit par  Patrick Popescu-Pampu
Le 31 janvier 2022  - Traduit par  Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier
Article original : Bandes d’escargots Voir les commentaires
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El tema aquí es la estructura de los motivos en las líneas sobre los caparazones de caracoles de los setos y jardines. Esta será la ocasión para proponer algunas preguntas matemáticas para los días lluviosos.

El último número [1] de « La Hulotte » es apropiado para una temporada estival : está dedicado al Caracol de los Setos. En la página 1 se encuentra una linda colección [2], que tiene sin embargo un intruso : el Caracol de los Jardines. ¿Podría encontrarlo ? La respuesta está en esta nota [3].

Aparte del sutil detalle que permite diferenciarlos, las dos especies tienen las conchas muy parecidas. Están decoradas con tiras en espiral, con gran riqueza de motivos. Aprendí en la revista « La Hulotte » que los especialistas tienen diversas maneras de clasificarlas, lo que permite encontrar entre 32 y 300 motivos diferentes. Por ejemplo, en la página 7 se encuentra el siguiente diagrama :

¿De qué se trata ? Uno coloca la concha delante de sí, con la abertura hacia abajo, y se mira uno de los niveles de la pequeña torre de Babel. Está recorrido por tiras oscuras, y puede haber a lo más cinco. Una o muchas de estas tiras pueden estar ausentes, pero entonces su lugar queda vacío. Por otra parte, dos o muchas tiras adyacentes pueden también unirse y formar una tira más gruesa. Esos dos fenómenos, visibles en el primer diseño, están ilustrados esquemáticamente en el segundo.

Ese esquema me sugirió algunas preguntas. Se las propongo al lector que tendrá cómo ocupar las lluviosas jornadas de vacaciones. Tal vez mire enseguida con más interés estos gasterópodos [4].

  1. Demostrar que el esquema es completo : ningún motivo de estría formada respetando las reglas explicadas con anterioridad queda ausente.
  2. Consideremos un grafo abstracto cuyos vértices representan los motivos posibles. Dos vértices están unidos por una arista cuando se puede pasar de un motivo al otro ya sea añadiendo una tira, o uniendo dos tiras adyacentes. Esto permite definir una distancia entre los motivos : es el número mínimo de aristas que se debe recorrer para ir de uno a otro. ¿Cuál es el diámetro del grafo ? ¿Para cuántas parejas de motivos está realizado ese diámetro ?
  3. ¿Cuáles son los números máximos y mínimos de vecinos de los vértices ?
  4. ¿Se puede encontrar un camino formado por aristas, que vuelva al punto de partida, y que pase una sola vez por cada vértice ? La misma pregunta para un camino que contenga una sola vez cada arista.
  5. Para cada entero natural $n$, se considera el número $M_n$ de motivos análogos que tengan $n$ emplazamientos de tiras. Encontrar una relación de recurrencia entre esos números y, si es posible, una fórmula cerrada para $M_n$.
  6. Si hay un biólogo en la sala, ¿se tiene una idea de la forma en la cual esos motivos son codificados genéticamente ? En « La Hulotte » uno aprende que sus distribuciones estadísticas son muy variadas.

¡Buen verano de reflexión sobre las tiras !

Post-scriptum :

Gracias a Bernard por haber suscrito a mi hijo a « La Hulotte » y a Carole por sus comentarios.

Notes

[1Número 97, del primer semestre 2012.

[2Todos los textos y dibujos de la revistas son realizados por Pierre Déom.

[3Los caracoles de los setos tienen el borde de la abertura oscuro, al revés de los caracoles de jardín que lo tienen claro.

[4A quienes tengan la idea de partir en busca de tales caracoles les indico, como ha dicho « La Hulotte », que hay individuos cuya concha se enrolla en el sentido opuesto al mostrado aquí. Su rareza lo convierte en una especie de gastrópodo ’de la buena suerte’.

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Pour citer cet article :

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «Tiras de caracoles» — Images des Mathématiques, CNRS, 2022

Crédits image :

Image à la une - La foto del logo fue tomada por mí.

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