Un poliedro en la palma de la mano

Piste bleue Le 20 mars 2010  - Ecrit par  Cédric Couliou
Le 27 juin 2019  - Traduit par  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
Article original : Un polyèdre au creux de la main Voir les commentaires
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En algunos clics, construya el modelo de su poliedro no convexo preferido.

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Un gran dodecaedro en la palma de la mano.

En este artículo me gustaría presentarles rápidamente GSolaar, un programa computacional que usted puede descargar en forma gratuita y que le permitirá jugar con los poliedros no convexos, como el que se ve en la imagen de arriba.

Los poliedros tienen una larga historia y probablemente los más conocidos entre ellos le son muy familiares : se trata de los famosos sólidos platónicos, esos cinco poliedros regulares que fascinaban tanto a los antiguos griegos y que son ilustrados a continuación.

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De izquierda a derecha : tetraedro, hexaedro (o cubo), octaedro, dodecaedro e icosaedro.

Hay una diferencia muy importante entre el poliedro que tengo en la palma de la mano en la primera imagen y los poliedros regulares de arriba : estos últimos son convexos. ¿Ves la diferencia ? ¿No ? Recuerda el artículo de Serge Cantat acerca del triángulo de Reuleaux. Ahí uno aprendía qué es la convexidad para una figura en el plano. Aquí es lo mismo, pero en el espacio. Bueno, espero que esté un poco más clara ahora la diferencia entre un poliedro que es convexo y otro que no lo es.

A decir verdad, con el programa GSolaar se pueden hacer bastantes cosas con los poliedros no convexos. ¿Su origen ? Es un programa escrito bajo la dirección de Philippe Martin de la Universidad de Nantes, Francia, que luego traté de hacerlo lo más fácil de usar posible. ¡Ah !, y ese curioso nombre de GSolaar proviene de « Graphisme et SOLides ARêtes-Ailées » [1].

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Interfaz gráfica de GSolaar ; una interfaz para explorar y trabajar poliedros.

¿Qué se puede hacer exactamente con este programa ? Bueno, se puede construir un poliedro y luego imprimir su molde en un cartón : ¡solo queda sacar las tijeras y el pegamento para fabricar dicho poliedro !

Otra cosa que también se puede hacer es divertirse con 80 poliedros llamados uniformes que ya están implementados en ese pequeño programa : eso fue posible gracias a otro programa llamado Kaleido desarrollado por el profesor Zvi Har’El.

Bueno, lo mejor es que sigas mi consejo : descarga GSolaar y diviértete con él. Rápidamente vas a comprender todo lo que se puede hacer...

Algunas palabras más para los curiosos.

La noción de sólido está implementada en el programa bajo una forma llamada ’’aristas-aladas’’, lo que permite eliminar un gran número de poliedros difíciles o incluso imposibles de construir. La algorítmica de tratamiento de los poliedros no convexos se desarrolla en varias etapas :

  • el recorte, que consiste en recortar cada lado por el plano de otros lados ;
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Ejemplo de corte : prisma pentagrámico (vista transversal).
  • la segmentación, que apunta a recortar las aristas que se intersectan ;
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Ejemplo de segmentación (caso de una cara pentagrámica).
  • el descruzamiento, cuyo fin es ordenar los vértices de una cara que sería un polígono cruzado escogiendo los vértices según sus ángulos de aparición ;
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Ejemplo de descruzamiento (caso de una cara pentagrámica).
  • el ahuecamiento, que consiste en eliminar todos los residuos de caras recortadas no visibles fuera del sólido ;
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Ejemplo de ahuecamiento : un prisma pentagrámico ahuecado (corte transversal).
  • y, finalmente, la fusión.
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Un primer ejemplo de fusión : pegado de seis caras para formar solo una.
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Un segundo ejemplo : fusión de un gran icositetraedro hexacrónico.

Una vez efectuado el tratamiento del poliedro, el programa es capaz de generar un molde comparable al molde de una prenda de vestir. Para eso, basta con proyectar las caras sobre un plano, disponerlas como corresponde y añadirlas como las letras en una palabra. ¡Así de simple ;-) !

Para terminar, aquí hay dos versiones del molde del prisma pentagrámico, una antes del tratamiento y la otra después del tratamiento. Y entonces se puede ver que fabricar poliedros no convexos no es tan simple...

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Antes del tratamiento.
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Después del tratamiento.
Post-scriptum :

Agradezco a Aurélien Alvarez por su ayuda amistosa en la redacción de este artículo.

Article original édité par Aurélien Alvarez

Notes

[1NdT : Grafismo y SÓLidos ARistas-Aladas

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Pour citer cet article :

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «Un poliedro en la palma de la mano» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

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