Asistí hace dos semanas al primer coloquio del año : se trataba de una conferencia de Gilles Lebeau acerca del algoritmo de Metrópolis, tema que me es desconocido.

Para introducir su exposición, él comenzó por describirnos el problema original : dados un radio $r>0$ y un natural $N$, ¿cómo elegir ’’al azar’’ $N$ discos separados de radio $r$ en el cuadrado de lado 1 ?

No es difícil definir el espacio de todas las configuraciones posibles : se puede representar los discos por sus centros, y estos por sus dos coordenadas, abscisas y ordenadas, es decir, un total de $2N$ números reales. Se espera, por lo tanto, que esos centros estén a distancia al menos $r$ de los bordes del cuadrado, y que estos estén al menos a $2r$ unos de otros. Todo esto se escribe muy bien en términos de desigualdades estrictas. Evidentemente, para que exista al menos una configuración hay que darse restricciones : por ejemplo, es necesario que el área total de los discos, $N\pi r^2$, sea inferior al área del cuadrado, $1$ (¡ciertamente, esto no es suficiente !).

En realidad, Gilles Lebeau nos explicó que ’’nosotros’’ no conocíamos gran cosa acerca del espacio de las configuraciones. Por ejemplo, ocurre que para ciertos valores de $N$ y de $r$, este conjunto puede no ser conexo : dadas dos configuraciones, no siempre se puede deformar la primera para llegar a la segunda sin que los discos no se encuentren (tomar por ejemplo dos discos de radio grande). De manera más sutil, la adherencia de este espacio puede ser diferente de la del espacio de las configuraciones para las cuales se acepta que los discos se toquen (desigualdades amplias en lugar de estrictas).

Siempre estoy asombrado al comprobar que los asuntos que podrían constituir los fundamentos de un tema no están necesariamente resueltos e incluso ni siquiera abordados, ya sea en un campo que se supone que conozco o no.
¡Y sin embargo, esto no impide elaborar teorías sofisticadas ! Pese a esta frustración, ¿no es una fortaleza de las matemáticas ?