Número de oro, fractales y simetrías

Para profundizar después de la serie ’’El mundo es matemático’’

Piste rouge Le 29 mai 2013  - Ecrit par  Jérôme Buzzi
Le 4 avril 2019  - Traduit par  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
Article original : Nombre d’or, fractals et symétries Voir les commentaires
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Con ocasión de la publicación de la serie El mundo es matemático, le proponemos prolongar su lectura con un paseo matemático. Aquí describiremos las propiedades de simetría del número de oro que explican su interés en la investigación matemática de hoy en día.

El número de oro [1], designado tradicionalmente con la letra griega $\varphi$ (se pronuncia fi), está definido por cierta propiedad de autosimilaridad (vea más abajo). Esta autosimilaridad es un ejemplo de simetría, una noción central en matemáticas tanto en álgebra como en geometría. Veremos qué es un grupo de simetría y las relaciones que mantiene con el objeto simétrico, sea esta una figura geométrica clásica (el cuadrado) o fractal (el conjunto de Cantor). Armados de este modo, explicaremos cómo la ecuación que caracteriza el número de oro permite la construcción de un conjunto de puntos cuasiperiódico (que casi se repite, pero nunca exactamente). Es el modelo más simple de ciertos nuevos materiales llamados ’’cuasicristales’’. Terminaremos nuestro paseo mencionando las preguntas matemáticas planteadas por este descubrimiento físico.

Una definición del número de oro

$\varphi$ es la relación entre el largo $b$ y el ancho $a$ de un rectángulo $\mathcal R$ tal que, si se saca de $\mathcal R$ el cuadrado más grande que contiene, el rectángulo restante $\mathcal R'$, de longitud $a$ y ancho $b-a$, es parecido al rectángulo inicial (la relación entre longitud y ancho es la misma que para $\mathcal R$) :

Arriba se ha dividido el rectángulo $\mathcal R$ en dos : a la izquierda el cuadrado y a la derecha el sub-rectángulo $\mathcal R'$.

Ecuación del número de oro

Las longitudes de los lados del subrectángulo son $a$ y $b-a$. Por lo tanto, se debe tener $b/a=\varphi$ y $ b/a = a/(b-a)$. Esto da $\varphi = \frac{1}{\varphi-1}$, o sea $\varphi^2-\varphi = 1$. Es una ecuación de segundo grado cuyas soluciones son : $(1+\sqrt{5})/2$ y $(1-\sqrt5/2)$. Esta última solución es más pequeña que $1$, y por lo tanto no puede ser $\varphi$.

El número de oro $\varphi$ verifica entonces la ecuación :
\[ \varphi^2 - \varphi - 1 = 0 \]
y $\varphi = \frac{1+\sqrt5}{2} \approx 1,618\dots$.

Como el subrectángulo $\mathcal R'$ es parecido al rectángulo de partida $\mathcal R$, se puede repetir la construcción, esto es, extraer el cuadrado más grande posible del subrectángulo $\mathcal R'$. Y se puede recomenzar indefinidamente :

Se dice que la figura (prolongada al infinito) es autosimilar : si se la dilata por $\phi$ y se la gira en $90^o$, se obtiene la misma figura [2]. Es una forma de simetría. Veremos cómo otras simetrías se deducen del número de oro y permiten crear objetos regulares que, sin embargo, no se repiten : los cuasicristales descubiertos experimentalmente en 1984 (vea este artículo).

Pero hagamos primero un buen desvío para explicar la noción matemática de simetría y cómo se puede, a partir de simetrías prescritas, construir una figura que admite precisamente esas simetrías.

Las simetrías

La simetría es una de las grandes ideas de las matemáticas. Para un matemático, un objeto es simétrico si hay transformaciones ’’buenas’’ transformaciones [3] que lo dejan sin cambiar (se dice también invariante). Por ejemplo, si se gira un cuadrado en $90^0$ alrededor de su centro, se obtiene la misma figura (incluso si todos los puntos del cuadrado han sido desplazados) :

Se puede visualizar esta transformación como resultado del siguiente desplazamiento :

Los matemáticos dicen que la rotación $R$ en ángulo de $90^o$ alrededor del centro de un cuadrado es una simetría del cuadrado. Un cuadrado es también simétrico en relación a su diagonal principal : es invariante por la transformación correspondiente $M$.

Si se denotan $A,B,C,D$ los vértices del cuadrado como arriba, entonces $M$ está caracterizado entre las isometrías del plano por : $M(A)=A,M(B)=D,M(C)=C,M(D)=B$.

Otras tres simetrías : $S,T,E$

De izquierda a derecha : la rotación $S$ en ángulo de $-90^o$ ($90^o$ en el otro sentido), la rotación $T$ en un ángulo de $180^o$, la simetría $E$ de eje vertical.

El grupo de las simetrías

Las tres simetrías $S,T,E$ pueden de hecho ser fabricadas a partir de las dos primeras, $R$ y $M$, independientemente de toda consideración geométrica. En efecto :

1. $S$ es el inverso de $R$ : la imagen por $S$ de un punto $x$ es el punto $y$ cuya imagen por $R$ es $x$. En fórmula : $S(x)=y$ exactamente cuando $x=R(y)$, y en dibujo :

Como $R($cuadrado$)= $cuadrado, también se tiene cuadrado $=S($cuadrado$)$ : el inverso de una simetría es una simetría. Se escribe $\bar U$ el inverso de una simetría $U$. Observemos que $U(\bar U(x))=\bar U(U(x))=x$, lo que los matemáticos adoran resumir escribiendo $U\bar U=\bar U U=\operatorname{Id}$, donde $\operatorname{Id}$ es la transformación identidad que no hace nada : $\operatorname{Id}(x)=x$ para todo $x$.

2. La reflexión de eje vertical $E$ se obtiene efectuando la reflexión $M$ alrededor de la diagonal y luego la rotación en ángulo de $90^o$. Esto puede verificarse comparando las imágenes de cuatro vértices del cuadrado con $E$ por una parte y con $M$ seguido de $R$ por otra parte. Se dice que $E$ es la compuesta de las dos simetrías. En fórmula : $E(x)=R(M(x))$ para todo punto $x$ o, más brevemente, $E=RM$.

Se señala que la compuesta de dos simetrías es automáticamente una simetría.

Por lo tanto se puede fabricar simetrías a partir de simetrías ya determinadas simplemente tomando inversas o compuestas de estas, independientemente de la naturaleza geométrica del problema. Se puede recomenzar mientras se obtenga nuevas simetrías. En nuestro ejemplo, partiendo de $S$ y $M$, se obtiene finalmente ocho simetrías (contando la identidad $\operatorname{Id}(x)=x$) :
\[ R,M,\bar R,RR,\operatorname{Id},RM,MR,RRM. \]
Este conjunto de ocho transformaciones es lo que los matemáticos llaman el grupo engendrado por $S$ y $M$. Un grupo es un conjunto de transformaciones tal que la inversa o la compuesta de cualquiera de sus elementos es todavía un elemento de este. El número de simetrías del cuadrado se escribe $\mathcal C$. Nuestros cálculos anteriores muestran que el grupo de ocho elementos de arriba es una parte de $\mathcal C$. El bloque siguiente muestra la igualdad.

Cálculo del grupo $\mathcal C$

El lector que no tenga miedo de calcular un poco puede encontrar esta lista de transformaciones como sigue.

Generación 0. Se tiene las dos transformaciones iniciales :
$R$ y $M$.

Generación 1. Se agrega todas las inversas y los productos de dos transformaciones de la generación 0 :
$R,M,\bar R,RR,RM,MR,\operatorname{Id}.$

La inversa $\bar M$ de $M$ es $M$ misma, por lo tanto no hay necesidad de volver a agregar $\bar M$ a la lista. Por esta misma razón, $MM=M\bar M=\operatorname{Id}$ ya no se agrega de nuevo. Las otras transformaciones son distintas, lo cual se verifica calculando para cada una las imágenes de los vértices del cuadrado.

Generación 2.
$R,M,\bar R,RR,\operatorname{Id},RM,MR,\bar RM,RRM$,

donde se ha sacado las siguientes repeticiones : $\bar R=RRR$, $M\bar R= RM$, $\bar RM =MR$, $\bar R\bar R=RR$, $RMR=M$, $MRR=RRM$, $M\bar R\bar R=RRM.$

El grupo $\mathcal C$, ¿contiene todas las simetrías del cuadrado ?

Se puede imaginar muchas otras transformaciones que dejen el cuadrado sin cambiar : por ejemplo la transformación que hace girar el cuadrado (y su interior) en un ángulo de $90^o$ pero deja el exterior sin cambiar. Pero esas no son isometrías.

Tomemos una isometría $U$ dejando el cuadrado invariante y mostremos que debe coincidir con uno de los ocho elementos de $\mathcal C$. Se va a utilizar las siguientes consideraciones : (1) una isometría que deje invariante el cuadrado debe cambiar sus vértices $A,B,C,D$ ; (2) si dos isometrías transforman de la misma manera esos vértices, entonces son iguales.

Se considera que la composición $VU$ o $V$ es la rotación que envía $U(A)$ sobre $A$ ($V=\operatorname{Id},R,RR$ o $\bar R$) : por ejemplo si $U(A)=B$, se toma $V=\bar R$ de manera que $VU(A)=V(U(A))=V(B)=\bar R(B)=A.$

$VU$ es una isometría que preserva el cuadrado verificando además : $VU(A)=A$. Si el vértice $C$ es el único a distancia $\sqrt{2}$ de $A$ y el vértice $VU(C)$ debe estar a distancia $\sqrt{2}$ de $VU(A)=A$, se debe tener $VU(C)=C.$

Si $VU(B)=D$, entonces $DVU(B)=M(D)=B$ y se debe tener $MVU(A)=A$, $MVU(B)=B$, $MVU(C)=C$. Como las imágenes de los dos vértices distintos deben ser distintas, se tiene también $MVU(D)=D$. Se deduce de ahí que $MVU$ fija cada uno de los vértices del cuadrado, por lo tanto $MVU=\operatorname{Id}$ y $U=\bar VM$. Finalmente, $U=M$, $RM$, $RRM$ o $\bar RM$.

De lo contrario $VU(B)=B$, y un razonamiento similar al anterior da $U=\bar V$ y entonces $U=\operatorname{Id}$, $R$, $RR$ o $\bar R$.

En los dos casos, $U$ es uno de los $8$ elementos del grupo descrito arriba.

¿Se puede encontrar el cuadrado a partir del grupo $G$ formado por las ocho transformaciones anteriores ?

Veamos esto. Supongamos que $Q$ sea un conjunto de puntos del plano que queda invariante por cualquier otra transformación de $G$. Por supuesto está el caso donde $A$ es el conjunto vacío, que se deja de lado.

Tomemos un punto $p$ de $Q$, y apliquemos por turno todas las transformaciones de $G$. Se obtiene $1$, $4$ u $8$ puntos que son respectivamente el origen (el punto negro), los vértices de un cuadrado (los puntos rojos), o los de un octágono (los puntos azules) :

No se ha encontrado realmente un cuadrado. Se ve que el conjunto de los 13 puntos representados arriba tiene el mismo grupo de simetrías que el cuadrado. ¿Sabrá determinar el lector cuáles son los polígonos que tienen ese mismo grupo de simetrías ?

Para poder concluir, es necesario imponer una condición suplementaria. Por ejemplo, los conjuntos de cuatro elementos invariantes por $G$ son exactamente los cuatro vértices de un cuadrado centrado en $0$ y alineado con los ejes de coordenadas.

El espacio de Cantor y sus simetrías

Continuemos nuestra exploración de la simetría.
Vamos a presentar uno de los primeros fractales descubierto por los matemáticos : el conjunto de Cantor [4]. Es una parte de la recta que construiremos a partir de sus simetrías. Estas están definidas por dos transformaciones $S$ y $T$ de la recta : $S$ dilata la recta a partir de un punto de origen $A$ por un factor $3$ mientras que $T$ efectúa una simetría alrdedor de otro punto $B$.

Si se introduce las coordenadas bien elegidas, los puntos de la recta están representados por los números y se puede hacer que $A$ corresponda a $0$ y $B$ a $1/2$. Las transformaciones $S$ y $T$ están entonces representadas por las fórmulas :

\[S(x)=3x\text{ y }T(x)=1-x, \text{ donde }x\text{ es un número cualquiera.}\]

Por ejemplo, $A$ es un punto fijo de $S$ que corresponde a $S(0)=0$ y $B$ un punto fijo de $T$ que corresponde a $T(1/2)=1/2$.

Sea $G$ el grupo engendrado por esas dos transformaciones. Recordemos : se parte de $S$ y $T$ y se agrega las inversas y las composiciones como se ha hecho para el grupo $\mathcal C$ de las simetrías del cuadrado. Aquí :

\[S^{-1},ST,TS,S^{-1}T,TS^{-1},S^{-1}S^{-1},SST,STS,...\]

El grupo $G$ es infinito, contrariamente a $\mathcal C$. Por ejemplo componer $n$ veces $S$ consigo mismo, da la transformación que envía a $x$ sobre $3^nx$. Por tanto, $S,SS,SSS,SSSS,\dots$ son transformaciones distintas.

El conjunto de Cantor se obtiene calculando la imagen de $0$ por todos los elementos del grupo $G$ [5].

En la imagen anterior, cada punto está representado por un trazo vertical de igual abcisa para una mejor visibilidad.

Cálculo de la imagen de $0$ para cada una de las transformaciones anteriores :

La figura anterior representa una veintena de imágenes de $0$ por los elementos del grupo. Se ha aplicado sucesivamente la simetría $T(x)=1-x$ (flechas azules) y la contracción $\bar S(x)=x/3$ (las flechas rojas). Encima del Cantor se ve el número de transformaciones $T$ o $\bar S$ sucesivamente aplicadas a $0$ para obtener el punto. El gran punto rojo marca el punto de partida $0$ y el gran punto azul el punto obtenido después de las $20$ transformaciones elegidas.

A partir del grupo $G$ hemos construido un conjunto $K$ [6]. Recíprocamente este conjunto $K$ tiene como grupo de simetrías (entre las transformaciones afines [7]) exactamente $G$. Así, aunque $K$ es un objeto complicado (un fractal), $G$ puede ser fabricado a partir de transformaciones muy simples que permiten su análisis.

También se puede calcular a partir de $G$ la dimensión fractal [8] $d=\log 2/\log 3\approx 0,631\dots$ de $K$ : (el $2$ es el número de elementos ($S$ y $T$) que generan el grupo y el $3$ es el factor de dilatación de $S$).

Este enfoque se aplica a muchos otros conjuntos fractales, como por ejemplo el fractal de Rauzy (cuya frontera tiene una dimensión fractal de cercana a $1,093$) :

Pero es tiempo de regresar al número de oro...

Conjuntos invariantes y el número de oro

Retomemos la ecuación que establecimos al inicio de este artículo :
\[\phi^2-\phi-1=0\]
Reescribámosla como : $\phi^2=\phi+1$. Interpretémosla geométricamente como :

La dilatación por un factor $\phi$ de un intervalo de longitud $\phi$ es la unión de un intervalo de longitud $\phi$ y un intervalo de longitud $1$.

Designemos $T$ la transformación de dilatación-subdivisión que consiste en recortar un segmento de la recta en subsegmentos de longitudes $1$ o $\phi$, dilatarlos por un factor igual a $\phi$ y recortar los subsegmentos de longitud $\phi^2$ en un segmento de longitud $\phi$ seguido por uno de longitud $1$. Si se parte del segmento $[0,\phi]$, se obtiene sucesivamente por aplicación repetida de $T$ :

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Uno imagina que en el límite se obtiene una partición $R$ de la semirrecta que es invariante por la transformación $T$ de dilatación y subdivisión. Esta invarianza da las siguientes propiedades curiosas de $R$ :

$R$ no es periódico ; en otras palabras, ninguna traslación de $R$ hacia la izquierda da exactamente $R$ mismo.

$R$ es cuasiperiódico, es decir, hay traslaciones de $R$ que coinciden con $R$ sobre una longitud arbitrariamente grande.

Algunos elementos de prueba

La aperiodicidad es una consecuencia del hecho de que $\phi$ no es la razón entre dos enteros (se dice que $\phi$ es irracional). En efecto, si $R-x$ coincidiera sobre la semirrecta con $R$, se tendría lo mismo para $T(R)-\phi x$, que no es otra cosa que $R-\phi x$. Se deduciría de eso que $R-(a-b\phi)x$ coincide con $R$ para todos los enteros $a,b$. Como $\phi$ es irracional, el número $a-b\phi$ puede ser arbitrariamente pequeño. Pero esto es absurdo, ya que si se desplaza por menos de $1$, ¡no puede haber coincidencia ! Se concluye que la hipótesis de la periodicidad es falsa. $R$ es aperiódico.

La cuasiperiodicidad proviene de que $R$ es engendrado a partir de $[0,\phi]$. Ahora bien, a la tercera etapa se tiene dos intervalos de longitud $\phi$ (separados por un intervalo de longitud $1$). Si se continúa aplicando $T$, cada uno de los dos intervalos de longitud $\phi$ tendrá la misma ’’descendencia’’, y por lo tanto se tendrá la repetición de un muy largo segmento de $\phi$ de longitud $\phi^n$.

Aplicación a la física y problemas abiertos

El conjunto $R$ interesa a los físicos ya que se parece a un cristal aperiódico. Expliquemos. Un cristal se reconoce experimentalmente a partir de su figura de difracción que consiste en un conjunto de puntos donde la luminosidad se concentra en vez de tener una luminosidad continua :

Hasta mediados de los años 1980, se pensaba que era la firma de una organización microscópica periódica, es decir, de un cristal. Luego se descubrió materiales cuya figura de difracción es invariante por rotación en un ángulo de $36^0$ :

Ahora bien, se sabe desde fines del siglo XIX que una tal simetría no puede ser cumplida por un objeto tridimensional periódico. Experimentos muy precisos confirmaron, sin embargo, la presencia de esta simetría ’’imposible’’. A estos nuevos materiales se les llama cuasicristales, y su descubrimiento fue recientemente recompensado con un premio Nobel de Química [9].

Como lo ilustra la foto anterior, esos objetos comparten muchas propiedades físicas con los cristales. El conjunto $R$ ofrece un modelo (muy simplificado) de esos objetos físicos cuasiperiódicos.

Preguntas matemáticas de hoy en día

Una cuestión matemática fundamental, hasta el día de hoy no resuelta, es clasificar los cuasicristales como se supo clasificar los cristales en el siglo XIX por sus grupos de simetrías (es esta clasificación la que permitió reconocer los cuasicristales durante su descubrimiento experimental).

La dilatación-subdivisión ($T$ arriba) definida por el número de oro está en el origen de muchos procesos de construcción de cuasicristales : teselación de Penrose del plano (haciendo intervenir igualmente el número de oro), dilatación-división ligada a otros números particulares [10], proyección de puntos de coordenadas enteras en gran dimensión [11], reglas de compatibilidad entre vecinos más cercanos... Esas construcciones son igualmente utilizadas en informática teórica [12].

Hoy en día, los matemáticos se esfuerzan por precisar las propiedades de estas construcciones : ¿cuáles producen la misma clase de objetos ?, ¿cuándo se obtiene una figura de difracción constituida por pics ?, ¿se puede reconocer la construcción a partir de las figuras de difracción ?, ¿cuáles son los nexos entre combinatoria y geometría ?

Esas preguntas hacen intervenir muchas herramientas matemáticas : análisis armónico, sistemas dinámicos, teoría de números, teoría de la decidibilidad ... ¡que son la alegría de los matemáticos !

Post-scriptum :

Deseo agradecer a Etienne Ghys y a Christophe Boilley (del equipo de relectura) por algunas sugerencias que mejoraron este artículo. No puedo sino pedir la indulgencia del lector en cuanto a las ilustraciones, que fueron completamente realizadas por mí.

Article original édité par Jérôme Buzzi

Notes

[1Para tener otro punto de vista puede revisar este artículo.

[2De hecho, una prolongación de esta figura.

[3En esta parte, se considerará las isometrías, es decir, las transformaciones del plano que dejan las distancias sin cambiar.

[4Este conjunto fue sido estudiado por G. Cantor en 1883 pero ya había sido señalado por muchos otros matemáticos como Henry J.S. Smith en 1874.

[5Más exactamente, es la adherencia topológica de esas imágenes de $0$, pero nos olvidaremos de ese punto más técnico.

[6El conjunto de Cantor es más precisamente la restricción de $K$ a los puntos entre $0$ y $1$.

[7Es decir de la forma $U(x)=ax+b$, por ejemplo $U(x)=1,635x-6,73567$.

[8Cuando uno hace zoom por un factor de $10$, el número de pixeles necesarios para visualizar el conjunto se multiplica por $10^d$ ; por ejemplo, para una línea, $d=1$.

[9Este artículo de Images des Mathématiques (en francés) explica la historia de este descubrimiento y sus aspectos matemáticos.

[10En dimensión $2$, Thurston en 1989 y Kenyon en 1996 mostraron que esos números son exactamente los números de Perron complejos.

[11Este proceso llamado de corte y proyección fue inventado por De Bruijn en 1981.

[12Aquí hay un libro, tomado al azar.

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Pour citer cet article :

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «Número de oro, fractales y simetrías» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

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