Números notables

Le 18 décembre 2019  - Ecrit par  Lamberto García del Cid
Le 20 janvier 2020  - Traduit par  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
Article original : Nombres remarquables Voir les commentaires
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El Instituto Henri Poincaré e Images des Mathématiques han unido sus esfuerzos para supervisar la reedición de la colección El mundo es matemático, publicado por RBA en convenio con Le Monde. En 40 obras, esta colección de calidad, -resultado de un proyecto colectivo de matemáticos españoles- aspira a presentar a través de una gran variedad de puntos de vista, de múltiples facetas, las ciencias matemáticas, bajo un aspecto histórico, humano, social, técnico, cultural...
Revisado y mejorado al nivel de la forma, esta nueva edición fue completamente leída y corregida por el equipo de Images des Mathématiques. Se agregó prefacios y listas bibliográficas. Le Monde consagra un suplemento especial para el lanzamiento de esta colección presentada por Cédric Villani, quien escribió el prefacio original.
Cada semana, con la salida de un nuevo número de la serie, un extracto seleccionado será presentado en Images des Mathématiques. Estará acompañado por un índice del libro y una invitación a prolongar su lectura.

Un Paseo por el Jardín de los Números

Prefacio de Shalom Eliahou, profesor de la Université du Littoral Côte d’Opale

El mundo de los números es de una extraordinaria diversidad, comparable a la del mundo vegetal, por ejemplo. Pero mientras para apreciar este último está el Jardín de Plantas en París y otros preciosos jardines en otras partes del mundo, ¿qué de eso tenemos para los números ? Ponerlos a la vista es más difícil, ya que esencialmente viven en nuestras cabezas. Imagine lo que podría ser un Jardín de Números, donde cada cual podría pasearse a gusto, pasar el rato y detenerse frente a los especímenes más cautivantes a su vista. Es un poco la función que cumple este libro.

Desde siempre, los números se prestan para toda clase de interpretaciones, de creencias, de juegos, de trucos y de preguntas. Todos estos aspectos están abordados aquí. También hay ocasión para visitar o revisitar el significado particular de tal o cual número en la Antigüedad, en las grandes religiones y también en las civilizaciones no occidentales. Evidentemente, la época moderna no queda fuera, todo lo contrario.

El corazón del libro contiene innumerables ejemplos del comportamiento a menudo misterioso de los números. Es, por otra parte, uno de los aspectos fascinantes de la aritmética : la libertad total que cada uno puede ejercer sin límite para plantear preguntas sobre esos seres aparentemente simples que son los números naturales. Lo esencial no es saber si esto es útil, sino más bien saber si uno tiene o no las herramientas conceptuales necesarias para responderlas. Si se da el caso, tanto mejor. Y si no, esto revela las fallas del conocimiento que faltan por llenar.

De manera siempre sorprendente, preguntas incluso muy simples pueden plantear temibles desafíos. ¿Qué se sabe, por ejemplo, acerca de los números perfectos, nombre dado por Euclides a los números que son iguales a la suma de sus divisores estrictos ?
Los números 6 y 28 son perfectos, ya que
6 = 1 + 2 + 3 y 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14.
Se conocen bien algunos otros, pero... ¿hay una infinidad ? ¡Esto aún no se sabe, a pesar de 2000 años de reflexión colectiva ! Como anécdota, el 48° número perfecto conocido fue descubierto el 25 de enero de 2013. Aunque ese gigante consta de 300 billones de cifras, se lo puede describir con pocos caracteres : es el número $2^{57\:885\:160} \times (2^{57\:885\:161} – 1)$.
Lo que está entre paréntesis es un primo de Mersenne, y era el más grande número primo conocido a la fecha (hoy se conocen un par más).

Se descubrirá en la obra varios otros números con propiedades aritméticas muy especiales. Nombremos en desorden los números amigables, novios, sociables, felices, ambiciosos, afortunados, narcisistas, malos, abundantes, primordiales, piramidales, cíclicos, rectangulares, sordos, automorfos, oblongos, decagonales, omirp, simétricos, intocables, etc. Es una oda al ingenio humano.
Otros especímenes incluso están ataviados con un nombre propio, a menudo el de su inventor, pero no siempre. Mencionemos por ejemplo los números primos de Sophie Germain ; o los números de Fibonacci, bien conocidos por el público y abordados en otra parte de esta colección ; o más aún, los muy elusivos números de Lychrel, cuyo más pequeño ejemplar conocido es 196. En este caso, Lychrel es un anagrama aproximado de Cheryl, nombre de la novia del inventor de esos números huidizos.

Debido a la abundancia de curiosidades numéricas presentadas y por su accesibilidad, este libro puede ser fuente de horas de diversión, ya sea solitaria o en familia. Con una calculadora u otra máquina de mayor calibre, verifique las propiedades anunciadas de tal o cual número. Verifique, por ejemplo, que 496 y 8128 son también perfectos, como 6 y 28. O incluso, plantee a sus hijos el desafío de hacerlo. Puede ser la ocasión para despertar su curiosidad por los números y las matemáticas, una experiencia siempre útil para el colegio y para el resto de la vida adulta.

Hacía falta un último capítulo para ocuparse de números considerados como nefastos o temibles, como 11, 13 o 666. Ahora bien, la aritmética nuevamente puede servir de contrapeso para esas fobias, a menos que sea para confirmarlas. Entre otras propiedades sorprendentes del 666, por ejemplo, este número es la suma de los cuadrados de los 7 primeros números primos : $666 = 2^2 + 3^2 + 5^2 + 7^2 + 11^2 + 13^2 + 17^2$. Inesperado, ¿no ? Que el lector se divierta descubriendo otras inumerables sorpresas presentadas en el libro.

Extracto del Capítulo 3 - Números con un apelllido e incluso un nombre

Números de Sophie Germain

Los números de Sophie Germain, llamados en honor de su descubridora, la matemática francesa Marie-Sophie Germain, son números primos de una forma particular : aquellos que al ser multiplicados por $2$ y añadírseles la unidad, dan otro número primo. En notación simbólica, $p$ es un número primo de Sophie Germain si $2 \times p+ 1$ es también primo. El número primo de Sophie Germain más pequeño que existe es el $2$, ya que $2 \times 2 +1 =5$, que es también un número primo. El siguiente es el $3$, ya que $2 \times 3 + 1 = 7$. El más grande número primo de Sophie Germain conocido durante mucho tiempo fue $9 402 702 309 \times 10^{3 000} + 1$. El doble de este número más uno da un número primo. En marzo de 2010 se descubrió un nuevo números primo de Sophie Germain : \[183 027 \times 2^{265 440} + 1.\]
Posee 79 911 cifras, y como todo número de Sophie Germain, si uno lo duplica y le agrega una unidad, se obtiene otro número primo :
\[183 027 \times 2^{265 441} + 3.\]
Se conjetura, aunque no se haya demostrado, que hay infinitos números primos de Sophie Germain, a semejanza de los números primos.

Números de Lychrel

Un número de Lychrel es un número natural tal que si iterativamente se hace la suma entre el número dado y aquel obtenido invirtiendo sus cifras, no se desemboca nunca en un palíndromo. Este proceso se llama algoritmo $196$, ya que $196$ es el primer número natural que parece satisfacer esta propiedad. Normalmente, un número palíndromo se obtiene por reglas aritméticas simples : a un número dado se le suma el número que forman sus cifras invertidas. Si el resultado no es palíndromo, se aplica la regla anterior al nuevo número. Después de varias etapas, se llega a un número palíndromo. Por ejemplo :

$56 + 65 = 121$, en una etapa
$139 + 931 =1 070$ ; $1 070 + 0701 =1 771$, en dos etapas.

Pero este truco no siempre funciona. El primer entero natural para el cual la regla parece no funcionar nunca es el número $196$, y de ahí su particularidad. Esos números irreductibles a un palíndromo sumándoles sus números invertidos se llaman números de Lychrel, nombre dado por el matemático Wade Van Landingham (Lychrel es un anagrama aproximado del nombre de su novia, Cheryl).
Todavía hoy en día, ningún número de Lychrel ha sido descubierto (lo del $196$ es aún una sospecha), pero se piensa que hay muchos.

Números de Fibonacci

Son los números de la famosa secuencia, célebre por sus apariciones en libros o en el cine, que fue elaborada por Leonardo de Pisa, más conocido por el nombre de Fibonacci (hijo de Bonaccio). Los números están representados por ${F_n}$ y siguen la secuencia : $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…,$ donde cada término es la suma de sus dos anteriores, con excepción de los dos primeros términos. Pero detengámonos un poco en esta secuencia numérica, sin duda la más famosa de las matemáticas. Aparece por primera vez en el libro Liber Abaci de Fibonacci (nacido cerca de 1175 - muerto cerca de 1250) en relación con el cálculo de la evolución de la población de conejos. Fibonacci se preguntó cuántas parejas de conejos habría en un año, comenzando con una sola pareja, si cada pareja engendraba una nueva pareja que llegaba a ser fértil al cabo de dos meses.
Suponiendo que los conejos se reproducen sin cesar, el número de conejos nacidos al final de cada mes seguiría esta secuencia :
\[1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55…\]
Gráficamente, la evolucion de la camada de conejos sería la siguiente :

El círculo estrellado representa las parejas en período fértil, y el círculo simple las parejas no fértiles. En la derecha, al final de cada mes, la secuencia de Fibonacci. Esta serie posee una multitud de propiedades que hacen que sea la serie numérica más estudiada, pero la propiedad principal, según nosotros, es su relación con el número de oro, o la divina proporción $\Phi$. Verifiquémosla buscando la proporción resultante de la división de uno de esos números por el anterior :

La serie de Fibonacci y el triángulo de Pascal

El triángulo de Pascal es un triángulo que, contrariamente a lo que indica su nombre, no fue descubierto por Pascal, aunque haya sido él quien lo dio a conocer en Occidente. Se sabe que en la Antigüedad, el chino Chia Hsien utilizó ese triángulo para extraer raíces cuadradas y cúbicas de los números. Se supone también que era conocido por el matemático persa del siglo XI Omar Khayyam, autor de las famosas Rubaiyat, quien afirmaba poseer un método para extraer las raíces cuadradas y cúbicas. Pero mencionamos aquí ese triángulo singular por su relación con la serie de Fibonacci. Si uno traza líneas transversales sobre dicho triángulo, como está indicado en la figura siguiente, se descubre que las sumas de esas líneas oblicuas dan, en orden, los números de la secuencia de Fibonacci.

Mientras más avanzamos, más nos acercamos al número de oro $(1,61803…)$.
De hecho, el límite de la serie descrita anteriormente es el número de oro :
\[ \lim_{n \rightarrow \infty} F_n/F_{n-1} = \Phi. \]

[...]

PDF - 1.5 Mo
Sommaire du livre
Post-scriptum :

El extracto propuesto fue elegido por el autor del prefacio del libro Shalom Eliahou. Él contestará los eventuales comentarios.

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Pour citer cet article :

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «Números notables» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

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