Un défi par semaine

Octobre, 1er défi

3 octobre 2014  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (1)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2014 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 40 :
Si chaque lettre représente un chiffre distinct, quelle est la valeur de $F$ ?

PNG - 16.4 ko

Solution du 4ème défi de Septembre

Enoncé

La réponse est $5$ éléments.

Il est facile de voir que le sous-ensemble $\{1,2,3,5,8\}$ satisfait la condition désirée.
Montrons maintenant que $S$ ne peut contenir plus de $5$ éléments. Supposons pour obtenir une contradiction que $S$ contienne au moins $6$ éléments. Alors, la plus petite somme possible d’un couple de nombres est $3$ et la plus grande somme possible est $8+9=17$, c’est-à-dire qu’il y a $15$ sommes possibles.
En revanche, avec $6$ nombres on a $\binom{6}{2}=\frac{6\times 5}{2}=15$ couples de nombres possibles. Donc chaque nombre du $3$ au $17$ doit être la somme d’exactement un couple de nombres. Ceci implique que le $1$, le $2$, le $8$ et le $9$ sont dans $S$. Or on a $1+9=2+8$, d’où une contradiction.

Par conséquent, le nombre maximum d’éléments dans $S$ est 5.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2014 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Étienne Ghys - Illustrations : Jos Leys.
2013, Googol, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Partager cet article

Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Octobre, 1er défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2014

Crédits image :

Image à la une - Un polytope de Schläfli, par Jos Leys.

Commentaire sur l'article

  • Octobre, 1er défi

    le 4 octobre 2014 à 00:19, par gedspilett

    A=5 B=4 C=3 D=6 E=1 F=2 G=8 H=9 I=7

    Répondre à ce message

Laisser un commentaire

Forum sur abonnement

Pour participer à ce forum, vous devez vous enregistrer au préalable. Merci d’indiquer ci-dessous l’identifiant personnel qui vous a été fourni. Si vous n’êtes pas enregistré, vous devez vous inscrire.

Connexions’inscriremot de passe oublié ?

L'auteur

Ana Rechtman

Voir les commentaires (1)

Partager cet article

L'image du jour

Un article au hasard

Actualités des maths

Suivre IDM