Octobre 2014, 1er défi

Le 3 octobre 2014 - Ecrit par Ana Rechtman Voir les commentaires (1)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2014 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 40 :
Si chaque lettre représente un chiffre distinct, quelle est la valeur de $F$ ?

Solution du 4ème défi de Septembre

Enoncé

La réponse est $5$ éléments.

Il est facile de voir que le sous-ensemble $\{1,2,3,5,8\}$ satisfait la condition désirée.
Montrons maintenant que $S$ ne peut contenir plus de $5$ éléments. Supposons pour obtenir une contradiction que $S$ contienne au moins $6$ éléments. Alors, la plus petite somme possible d’un couple de nombres est $3$ et la plus grande somme possible est $8+9=17$, c’est-à-dire qu’il y a $15$ sommes possibles.
En revanche, avec $6$ nombres on a $\binom{6}{2}=\frac{6\times 5}{2}=15$ couples de nombres possibles. Donc chaque nombre du $3$ au $17$ doit être la somme d’exactement un couple de nombres. Ceci implique que le $1$, le $2$, le $8$ et le $9$ sont dans $S$. Or on a $1+9=2+8$, d’où une contradiction.

Par conséquent, le nombre maximum d’éléments dans $S$ est 5.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2014 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Étienne Ghys - Illustrations : Jos Leys.
2013, Googol, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

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Octobre, 1er défi

le 4 octobre 2014 à 00:19, par gedspilett

A=5 B=4 C=3 D=6 E=1 F=2 G=8 H=9 I=7
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