Un défi par semaine

Octobre 2015, 2e défi

Le 9 octobre 2015  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (10)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2015 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 41 :

Découper la figure en trois parties qui peuvent se réassembler en un rectangle.

PNG - 19.4 ko

Solution du 1er défi de Octobre :

Enoncé

La réponse est $3$.

On a $80 = qn + 4$, où $q$ est un entier positif et $0 \leq 4 < n$. Ainsi, $qn = 76 = 2^2\times 19$. Comme $n > 4$, on voit que les possibilités pour $n$ sont $19$, $2\times 19 = 38$ et $4 \times 19 = 76$. On vérifie alors que

$155 = 8 \times 19 + 3 = 4 \times 38 + 3 = 2 \times 76 + 3,$

d’où l’on déduit que le reste recherché vaut $3$, quelle que soit la valeur de $n$ choisie parmi les trois possibles.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2015 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Ian Stewart.
2014, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Octobre 2015, 2e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

Crédits image :

Image à la une - LOSTMOUNTAINSTUDIO / SHUTTERSTOCK

Commentaire sur l'article

  • Octobre 2015, 2e défi

    le 10 octobre 2015 à 19:30, par Bernard Hanquez

    C’est plus difficile a expliquer qu’à faire, mais bon je me lance.

    Soit A le sommet situé en bas et à gauche, et B, C, D, E les autres sommets en tournant dans le sens trigonométrique.
    Soit F le point du segment AB tel que AF = x/4
    Soit G le point du segment AB tel que BG = x/4
    Tracer la parallèle à AE passant par F, elle coupe DE en G
    Tracer la parallèle à AE passant par G, elle coupe CD en I
    Couper selon FH et GI
    Faire pivoter AFHE de 180° autour de H
    Faire pivoter BCIG de 180° autour de I

    On obtient un rectangle de largeur x/2 et de hauteur 2,5x dont la surface est 1,25x^2, soit la surface de la figure d’origine.

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    • Octobre 2015, 2e défi

      le 11 octobre 2015 à 09:36, par ROUX

      Joli.
      Je me suis corrigé mais je vous signale une coquille : « Tracer la parallèle à AE passant par F, elle coupe DE en G ». Non, en « H ».

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      • Octobre 2015, 2e défi

        le 11 octobre 2015 à 10:45, par Bernard Hanquez

        Merci pour la coquille, j’ai pourtant relu plusieurs fois avant de poster.

        Répondre à ce message
  • Octobre 2015, 2e défi

    le 11 octobre 2015 à 13:26, par Samuel

    Couper le carré horizontalement à mi-côté. On obtient un rectangle et une maison. Couper la maison en 2 verticalement sur son axe de symétrie. On obtient trois pièces qui constituent un puzzle solution (mettre les deux morceaux de maison tête bêche et recoller avec le rectangle)

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  • Octobre 2015, 2e défi

    le 11 octobre 2015 à 20:36, par Daniate

    Bonsoir, une solution qui aboutit à un carré.

    Je nomme les 5 sommets ABCDE en tournant dans le sens trigonométrique et en partant du sommet.

    M est le milieu de [BC].

    Je coupe en AM et MD.

    ABM tourne autour de A de 90° sens positif et DCM tourne autour de D de 90° sens négatif

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  • Octobre 2015, 2e défi

    le 12 octobre 2015 à 22:27, par Daniate

    Je propose 2 nouvelles possibilités :

    1) avec les notations du précédent message, N, P et O sont les milieux de [AB], [AE] et [NP]. On coupe en NP puis OA. NOA (resp POA) tourne d’un demi-tour autour de N (res P). Les dimensions du rectangle sont x et 5x/4

    2) R est le milieu de [CD]. On trace [CE]. La parallèle à (AE) passant par R coupe [CE] en S. La découpe se fait en CE puis en RS. DERS subit la translation qui passe de D à C et ARS subit un demi-tour autour de A. Dimension xsqr(2)/2 et 5xsqr(2)/4

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  • Octobre 2015, 2e défi

    le 14 octobre 2015 à 18:46, par Daniate

    Et une nouvelle possibilité : T est le milieu de [BD], couper le long de l’axe de symétrie AR puis en RB. ARB fait un demi-tour autour de A et BCRT va dans le prolongement du rectangle obtenu.

    Une petite remarque, seule la solution de Samuel nécessite un retournement (symétrie axiale). Si on s’autorise ce type de déplacements on a une infinité de solutions puisqu’on a une solution à deux pièces (axe de symétrie puis tête-bêche), on peut alors couper une pièce de n’importe quelle façon et recoller.

    Qu’en est-il si on s’interdit ce type de déplacement ?

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    • Octobre 2015, 2e défi

      le 14 octobre 2015 à 22:42, par Daniate

      Errata, deuxième découpe en TB avec demi-tour de ABT

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    • Octobre 2015, 2e défi

      le 16 octobre 2015 à 11:43, par amic

      Pareil, il suffit de décaler TB vers le bas d’une distance arbitraire et ça marche quand même.

      Je ne sais pas par contre si par pavage articulé il n’y a qu’un nombre fini de découpages (tous les autres proposés ici peuvent être articulés autour de deux points).

      De toute façon au vu de la solution proposée, il semble que le but était d’avoir un carré. Je ne sais pas si la solution donnée est unique à symétrie près.

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      • Octobre 2015, 2e défi

        le 19 octobre 2015 à 09:51, par Daniate

        Bonjour,

        J’ai commis une deuxième erreur, ABT doit subir un quart de tour seulement, ce qui fait qu’en déplaçant BT vers le bas on n’obtient plus un rectangle. La question reste donc ouverte.

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