Un défi par semaine

Octobre 2015, 3e défi

16 octobre 2015  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (5)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2015 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 42 :

Si $2^{2015}$ a $m$ chiffres et que $5^{2015}$ en a $n$, déterminer la valeur de $m+n$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2015 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Ian Stewart.
2014, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Octobre 2015, 3e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

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Image à la une - LOSTMOUNTAINSTUDIO / SHUTTERSTOCK

Commentaire sur l'article

  • Octobre 2015, 3e défi

    le 16 octobre 2015 à 08:19, par Lina

    • Octobre 2015, 3e défi

      le 16 octobre 2015 à 10:48, par amic

      2016 plutôt…

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      • Octobre 2015, 3e défi

        le 16 octobre 2015 à 14:51, par Lina

        En effet, 10^(m-1) < 2^2015 < 10^m, (et non 10^m < 2^1025 < 10^(m+1)) comme trop rapidement je l’avais écrit. Merci pour la correction.

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  • Octobre 2015, 3e défi

    le 16 octobre 2015 à 23:24, par ROUX

    2^2015 a m chiffres.
    Donc, 10^( m - 1 )<2^2015<10^m.
    De même, 10^( n - 1 )<5^2015<10^n.
    On sait que ce sont des inégalités strictes car ni les puissances de 2 ni les puissances de 5 ne peuvent être égales à une puissance de 10 puisqu’elles ne sont déjà pas multiples de 10.
    On a alors 10^( m + n - 2 ) <10^2015<10^( m + n ).
    Donc on ne peut qu’avoir 10^2015=10^( m + n - 1 ) ou m + n - 1=2015 ou m + n=2016.

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  • Octobre 2015, 3e défi

    le 17 octobre 2015 à 10:44, par mesmaker

    Une méthode plus lourde mais plus générale, revenant plus ou moins au même que les précédentes, mais qui utilise directement le logarithme décimale noté log10 :

    Soit n un nombre entier alors son nombre de chiffres est égale à la partie entière supérieur de log10(n). Par exemple prenons le nombre 167348 à 6 chiffres, alors log10(167348) = 5.2236... donc sa partie entière supérieure vaut 6. De même pour 1024 : log10(1024) = 3.010, donc sa partie entière supérieure vaut 4 qui est le nombre de chiffre de 1024. Cette propriété est dû à la définition du logarithme en base 10. Par la suite, je note partie entière supérieure PES.

    Donc pour toutes puissances ’a’ entières non nulles, 2^a aura pour nombre de chiffre m = PES(log10(2^a)) et 5^a aura pour nombre de chiffre n = PES(log10(5^a)).
    La somme vaut m+n = PES(log10(2^a)) + PES(log10(5^a))
    m+n = log10(2^a) +x1 + log10(5^a) + x2 ou 0 < x1, x2 < 1 car 2^a et 5^a ne sont pas des puissances de 10 puisqu’elles ne sont pas multiples de 10.
    Donc 0< x1+x2 < 2 et log10(2^a) + log10(5^a) = log10(2^a + 5^a) = log10(10^a) = a
    Donc m+n = a + x1 + x2. Or m, n et a sont des entiers donc x1+x2 doit aussi l’être.
    Or 0< x1+x2 < 2 donc x1+x2 ne peut être égale qu’à 1.

    Au final pour n’importe quelle puissance entière a non nulles : m+n = a + 1. Donc pour le cas particulier de 2015, m+n = 2015 + 1 = 2016.

    En généralisant, on peut montrer que pour 25^a et 4^a, la somme des chiffres de ces deux nombres sera 2*a+1 car 4*25 = 100. De même pour les couples 50^a et 2^a ou 10^a et 10^a. Et ainsi de suite pour toutes les puissances de 10, 10^n, avec des nombres de chiffres égaux à n*a+1. Exemple : 25^a et 40^a ont en tout 3*a+1 chiffres.

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