Un défi par semaine

Octobre 2015, 4e défi

23 octobre 2015  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (2)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2015 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 43 :

Trouver tous les triplets d’entiers strictement positifs $(x, y, z)$ tels que

$xyz +xy+ + yz + zx + x + y + z = 243.$

Solution du 3e défi de Octobre :

Enoncé

La réponse est $m+n=2016$.

Comme $2^{2015}$ a $m$ chiffres sans être une puissance de $10$, on a

$10^{m-1} < 2^{2015} < 10^m.$

De la même manière,

$10^{n-1} < 5^{2015} < 10^n.$

On a donc $10^{m+n-2} < 2^{2015} \times 5^{2015} < 10^{m+n}$, d’où

$10^{2015} = 2^{2015} \times 5^{2015} = 10^{m+n-1}.$

Ainsi, $m+n-1=2015$ et $m+n = 2016$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2015 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Ian Stewart.
2014, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Octobre 2015, 4e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

Crédits image :

Image à la une - LOSTMOUNTAINSTUDIO / SHUTTERSTOCK

Commentaire sur l'article

  • Octobre 2015, 4e défi

    le 23 octobre 2015 à 07:27, par Lina

    3 solutions : (1,1,60) (1,60,1) (60,1,1)

    Répondre à ce message
    • Octobre 2015, 4e défi

      le 23 octobre 2015 à 08:11, par zgreudz

      Pareil !

      On observe que xyz+xy+yz+zx+x+y+z = (x+1)(y+1)(z+1)-1

      donc (x+1)(y+1)(z+1)=244

      qui se décompose en facteurs premiers 2, 2 et 61 ce qui donne x=1, y=1 et z=60 et les autres solutions en permutant les facteurs.

      Répondre à ce message

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