Un défi par semaine

Octobre 2015, 5e défi

Le 30 octobre 2015  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (3)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2015 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 44 :

Dans le quadrilatère $ABCD$, $AC = BC + CD$. L’angle $\widehat{BCD}$ mesure $120^{\circ}$ et sa bissectrice est $AC$.

Déterminer la longueur $BD$.

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Solution du 4e défi de Octobre :

Enoncé

La réponse est $(1,1,60)$, $(1,60,1)$, $(60,1,1)$.

Ajoutons $1$ aux deux membres de l’équation pour obtenir

$ xyz+xy+yz+zx+x+y+z+1 = 244$

$(x+1)(y+1)(z+1) = 244.$

Comme la décomposition en facteurs premiers de $244$ est $244 = 2^2\times 61$, nous en déduisons que $(x+1, y+1, z+1)$ est l’un des triplets $(2, 2, 61)$, $(2, 61, 2)$ ou $(61, 2, 2)$. Ainsi, les triplets recherchés sont $(1, 1, 60)$, $(1, 60, 1)$ et $(60, 1, 1)$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2015 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Ian Stewart.
2014, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Octobre 2015, 5e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

Crédits image :

Image à la une - LOSTMOUNTAINSTUDIO / SHUTTERSTOCK

Commentaire sur l'article

  • Octobre 2015, 5e défi

    le 30 octobre 2015 à 10:01, par Daniate

    BD = 5 cm

    Placer E entre A et C tel que CE = CD. Le triangle CDE est équilatéral et donc DE = DC

    On a AE = AC - CE = CB et l’angle AED mesure 120°.

    Les triangles AED et BCD sont isométriques puisqu’ils ont un angle égal situé entre 2 côtés respectivement de même longueur (cas d’égalité 1,2 ou 3 : je ne sais plus) donc DB = AD = 5 cm

    On peut aussi utiliser la rotation autour de D de + 60°

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  • Octobre 2015, 5e défi

    le 30 octobre 2015 à 12:15, par mesmaker

    BD = AD = 5 cm

    Une méthode moins astucieuse que la précédente et plus analytique est d’utiliser deux fois
    la relation d’Al-Kashi dans les triangles ACD et BCD en C. Sachant que l’angle
    ACD = 60 et BCD = 120 et que AC = BC + CD, on obtient AD^2 = AC^2 - BC*CD
    et BD^2 = AC^2 - BC*CD.

    De là AD = BD.

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  • Octobre 2015, 5e défi

    le 30 octobre 2015 à 15:35, par Daniate

    Une autre méthode consiste à se placer dans un cas particulier, puisque l’énoncé sous-tend que la réponse est unique et ne dépend pas de la figure. En prenant B et D symétriques par rapport à (AC) il est rapide de démontrer que ABD est équilatéral, ce qu’il est d’ailleurs dans tous les cas, les 2 démonstrations ci-dessus pouvant se refaire autour du point B.

    Répondre à ce message

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