Un défi par semaine

Octobre 2016, 1er défi

Le 7 octobre 2016  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (2)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2016 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 41 :

Dans l’hexagone, $\widehat{ABC} = \widehat{DEF} = 90^\circ$ et $(MN)$ est un axe de symétrie. Si les mesures sont en mètres, quelle est l’aire de l’hexagone ?

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Solution du 5e défi de Septembre :

Enoncé

La réponse est $e=\frac{55}{2}$.

Comme $a < b < c < d < e$, les deux plus grandes sommes possibles sont $c+e$ et $d+e$ et donc $c+e=48$ et $d+e=51$. De la même manière, $a+b=32$ et $a+c=36.$ La troisième somme dans l’ordre croissant est soit $a+d$ soit $b+c$. De la relation :

\[a+d=(a+c)+(d+e)-(c+e)=36+51-48=39 > 37,\]

on déduit que $b+c$ est la troisième somme et donc $b+c=37.$

Finalement, en combinant ces différentes égalités, on obtient :

\[2e=2(c+e)-(a+c)-(b+c)+(a+b)=2\times48-36-37+32=55,\]

et donc $e=\frac{55}{2}$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2016 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Aubin Arroyo, Fabiola Manjarrez et Ana Rechtman.
2015, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Octobre 2016, 1er défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2016

Commentaire sur l'article

  • Octobre 2016, 1er défi

    le 7 octobre à 08:06, par Al_louarn

    Comme $(ABC)$ est un triangle rectangle, Pythagore nous dit que $AC^2=AB^2+BC^2=16+9=25$, d’où $AC=5$. Et de même $FD=5$.
    Nous avons aussi $AF=CD=5$ donc le quadrilatère $(AFDC)$ est un losange de côté $5$.
    Mais $\widehat{CAF} = \widehat{AFD}$ par symétrie d’axe $(MN)$ donc $(AFDC)$ est un carré. Son aire est donc $5^2=25$.
    Si on retranche ce carré de l’hexagone il ne reste que les triangles rectangles et symétriques $(ABC)$ et $(FED)$, de petits côtés $3$ et $4$. L’aire totale de ces triangles est donc $4 \times 3 = 12$.
    L’aire de l’hexagone est donc $25 + 12 = 37$.

    Répondre à ce message
  • Octobre 2016, 1er défi

    le 8 octobre à 00:32, par aunryz

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