Un défi par semaine

Octobre 2016, 4e défi

Le 28 octobre 2016  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (11)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2016 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 44 :

Résoudre l’équation

$3^{x+2} + 3^{2-x} = 82.$

Solution du 3e défi d’Octobre :

Enoncé

La réponse est $\frac{576}{5}\,\mbox{cm}^2$.

Le carré a pour aire $144\,\mbox{cm}^2$, donc ses côtés mesurent $\sqrt{144} = 12$ cm.

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L’intersection du carré et du rectangle est formée de deux triangles superposables, $ABD$ et $AED$. Ainsi, l’aire de $ABD$ est $\frac {96}2 = 48\, \mbox{cm}^2$ et l’aire de $BCD$ est égale à $\frac{144}2 - 48=24\,\mbox{cm}^2$, d’où l’on tire

$\frac{BC \times CD}2 = 24$

$BC = \frac{48}{12} = 4\,\mbox{cm}.$

En outre, les triangles $BCD$ et $BFA$ sont semblables puisqu’ils ont deux angles égaux, ce qui entraîne

$ \frac{FA}{12} = \frac{FA}{CD} = \frac{BF}{BC} = \frac{BF}4,$

d’où l’on tire $BF = \frac 13 FA$. En utilisant le théorème de Pythagore dans le triangle $BFA$, on a

$FA^2 + BF^2 = AB^2$

$\frac{10}9 FA^2 = (12-4)^2$

$FA =\frac{24}{\sqrt{10}}\,\mbox{cm},$

d’où $BF = \frac{8}{\sqrt{10}}$ cm. Donc l’aire du triangle $BFA$ est égale à

$\frac{1}{2}\left(\frac{24}{\sqrt{10}}\times \frac{8}{\sqrt{10}}\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{96}{5}\right).$

L’aire du rectangle mesure $96\,\mbox{cm}^2$ plus deux fois l’aire du triangle $BFA$, ainsi l’aire du rectangle est égale à $96 +\frac{96}{5} = \frac{576}{5}\,\mbox{cm}^2$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2016 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Aubin Arroyo, Fabiola Manjarrez et Ana Rechtman.
2015, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Octobre 2016, 4e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2016

Commentaire sur l'article

  • Octobre 2016, 4e défi

    le 28 octobre 2016 à 10:43, par orion8

    $2$ est solution évidente ; par symétrie, $-2$ l’est aussi.
    On montre, en la dérivant, que la fonction $f$ définie sur $\mathbf{R}$ par $f(x)=3^{x+2}+3^{2-x}$ est décroissante, puis croissante, et admet son minimum en $0$, valant $18$. Les nombres $2$ et $-2$ sont donc les deux seules solution à $f(x)=82$.

    Répondre à ce message
  • Octobre 2016, 4e défi

    le 28 octobre 2016 à 10:56, par Al_louarn

    Je trouve $2$ et $-2$, mais y a-t-il d’autres solutions ?

    Répondre à ce message
    • Octobre 2016, 4e défi

      le 28 octobre 2016 à 12:16, par Daniate

      Bonjour, il n’y a en effet pas d’autre solution. Si les exposants sont positifs, 82 n’étant pas divisible par 3 il faut que l’un des termes du premier membre ne le soit pas, or parmi les puissances de 3 seul 3^0 ne l’est pas : on tombe sur vos 2 réponses. Si l’un des exposants est négatif le premier membre est un rationnel pur, même chose avec deux exposants négatifs.

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    • Octobre 2016, 4e défi

      le 28 octobre 2016 à 14:37, par ruello

      ou encore, cette équation est équivalente à 9*(3^x)^2-82*(3^x)+ 9= 0, l’équation 9X²-82X+9=0 admet 9 et 1/9 comme solutions d’où x = 2 ou x =-2.

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      • Octobre 2016, 4e défi

        le 28 octobre 2016 à 17:05, par orion8

        Bonjour. Pourquoi se compliquer la vie (comme je l’ai fait) ? C’est vous qui proposez la solution la plus simple !
        Je me permets de la réécrire en LaTeX : $9 \times (3^x)^2-82 \times 3^x+ 9= 0$

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        • Octobre 2016, 4e défi

          le 28 octobre 2016 à 19:40, par LALANNE

          ou encore :
          3^x+ 3^-x=82/9=9 +1/9
          D’où x=2 et x=-2

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          • Octobre 2016, 4e défi

            le 28 octobre 2016 à 21:12, par orion8

            $3^x+ 3^{-x}= \frac{82}{9} =9 +\frac{1}{9}$
            Joli !

            Répondre à ce message
            • Octobre 2016, 4e défi

              le 30 octobre 2016 à 10:52, par Daniate

              A condition de démontrer que a+1/a=b+1+1/b implique a=b ou a=1/b ce qui est vrai mais non évident, en tous cas pour moi. a+b=c+b n’implique ni a=c, ni a=d

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              • Octobre 2016, 4e défi

                le 30 octobre 2016 à 11:25, par LALANNE

                La question posée est :
                « Résoudre l’équation »,
                c’est à dire trouver une solution.

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                • Octobre 2016, 4e défi

                  le 30 octobre 2016 à 17:25, par ruello

                  « résoudre une équation », c’est-à-dire déterminer l’ensemble des solutions, donc toutes les solutions !

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                  • Octobre 2016, 4e défi

                    le 30 octobre 2016 à 18:48, par LALANNE

                    Si l’ inconnue est 3^x, l’équation du second degré a au plus deux solutions, que l’on a données.
                    Donc on a résolu l’équation.

                    Répondre à ce message

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