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Un défi par semaine

Octobre 2016, 4e défi

Le 28 octobre 2016 - Ecrit par Ana Rechtman Voir les commentaires (11)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2016 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 44 :

Résoudre l’équation

$3^{x+2} + 3^{2-x} = 82.$

Solution du 3e défi d’Octobre :

Enoncé

La réponse est $\frac{576}{5}\,\mbox{cm}^2$.

Le carré a pour aire $144\,\mbox{cm}^2$, donc ses côtés mesurent $\sqrt{144} = 12$ cm.

L’intersection du carré et du rectangle est formée de deux triangles superposables, $ABD$ et $AED$. Ainsi, l’aire de $ABD$ est $\frac {96}2 = 48\, \mbox{cm}^2$ et l’aire de $BCD$ est égale à $\frac{144}2 - 48=24\,\mbox{cm}^2$, d’où l’on tire

$\frac{BC \times CD}2 = 24$

$BC = \frac{48}{12} = 4\,\mbox{cm}.$

En outre, les triangles $BCD$ et $BFA$ sont semblables puisqu’ils ont deux angles égaux, ce qui entraîne

$ \frac{FA}{12} = \frac{FA}{CD} = \frac{BF}{BC} = \frac{BF}4,$

d’où l’on tire $BF = \frac 13 FA$. En utilisant le théorème de Pythagore dans le triangle $BFA$, on a

$FA^2 + BF^2 = AB^2$

$\frac{10}9 FA^2 = (12-4)^2$

$FA =\frac{24}{\sqrt{10}}\,\mbox{cm},$

d’où $BF = \frac{8}{\sqrt{10}}$ cm. Donc l’aire du triangle $BFA$ est égale à

$\frac{1}{2}\left(\frac{24}{\sqrt{10}}\times \frac{8}{\sqrt{10}}\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{96}{5}\right).$

L’aire du rectangle mesure $96\,\mbox{cm}^2$ plus deux fois l’aire du triangle $BFA$, ainsi l’aire du rectangle est égale à $96 +\frac{96}{5} = \frac{576}{5}\,\mbox{cm}^2$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2016 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Aubin Arroyo, Fabiola Manjarrez et Ana Rechtman.
2015, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

Commentaire sur l'article

Octobre 2016, 4e défi

le 28 octobre 2016 à 10:43, par orion8

$2$ est solution évidente ; par symétrie, $-2$ l’est aussi.
On montre, en la dérivant, que la fonction $f$ définie sur $\mathbf{R}$ par $f(x)=3^{x+2}+3^{2-x}$ est décroissante, puis croissante, et admet son minimum en $0$, valant $18$. Les nombres $2$ et $-2$ sont donc les deux seules solution à $f(x)=82$.
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Octobre 2016, 4e défi

le 28 octobre 2016 à 10:56, par Al_louarn

Je trouve $2$ et $-2$, mais y a-t-il d’autres solutions ?
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Octobre 2016, 4e défi

le 28 octobre 2016 à 12:16, par Daniate

Bonjour, il n’y a en effet pas d’autre solution. Si les exposants sont positifs, 82 n’étant pas divisible par 3 il faut que l’un des termes du premier membre ne le soit pas, or parmi les puissances de 3 seul 3^0 ne l’est pas : on tombe sur vos 2 réponses. Si l’un des exposants est négatif le premier membre est un rationnel pur, même chose avec deux exposants négatifs.
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Octobre 2016, 4e défi

le 28 octobre 2016 à 14:37, par ruello

ou encore, cette équation est équivalente à 9*(3^x)^2-82*(3^x)+ 9= 0, l’équation 9X²-82X+9=0 admet 9 et 1/9 comme solutions d’où x = 2 ou x =-2.
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Octobre 2016, 4e défi

le 28 octobre 2016 à 17:05, par orion8

Bonjour. Pourquoi se compliquer la vie (comme je l’ai fait) ? C’est vous qui proposez la solution la plus simple !
Je me permets de la réécrire en LaTeX : $9 \times (3^x)^2-82 \times 3^x+ 9= 0$
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Octobre 2016, 4e défi

le 28 octobre 2016 à 19:40, par LALANNE

ou encore :
3^x+ 3^-x=82/9=9 +1/9
D’où x=2 et x=-2
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Octobre 2016, 4e défi

le 28 octobre 2016 à 21:12, par orion8

$3^x+ 3^{-x}= \frac{82}{9} =9 +\frac{1}{9}$
Joli !
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Octobre 2016, 4e défi

le 30 octobre 2016 à 10:52, par Daniate

A condition de démontrer que a+1/a=b+1+1/b implique a=b ou a=1/b ce qui est vrai mais non évident, en tous cas pour moi. a+b=c+b n’implique ni a=c, ni a=d
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Octobre 2016, 4e défi

le 30 octobre 2016 à 11:25, par LALANNE

La question posée est :
« Résoudre l’équation »,
c’est à dire trouver une solution.
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Octobre 2016, 4e défi

le 30 octobre 2016 à 17:25, par ruello

« résoudre une équation », c’est-à-dire déterminer l’ensemble des solutions, donc toutes les solutions !
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Octobre 2016, 4e défi

le 30 octobre 2016 à 18:48, par LALANNE

Si l’ inconnue est 3^x, l’équation du second degré a au plus deux solutions, que l’on a données.
Donc on a résolu l’équation.
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