Un défi par semaine
Octobre 2016, 4e défi
Le 28 octobre 2016 Voir les commentaires (11)
Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2016 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.
Semaine 44 :
Résoudre l’équation
$3^{x+2} + 3^{2-x} = 82.$
Solution du 3e défi d’Octobre :
La réponse est $\frac{576}{5}\,\mbox{cm}^2$.
Le carré a pour aire $144\,\mbox{cm}^2$, donc ses côtés mesurent $\sqrt{144} = 12$ cm.
L’intersection du carré et du rectangle est formée de deux triangles superposables, $ABD$ et $AED$. Ainsi, l’aire de $ABD$ est $\frac {96}2 = 48\, \mbox{cm}^2$ et l’aire de $BCD$ est égale à $\frac{144}2 - 48=24\,\mbox{cm}^2$, d’où l’on tire
$\frac{BC \times CD}2 = 24$
$BC = \frac{48}{12} = 4\,\mbox{cm}.$
En outre, les triangles $BCD$ et $BFA$ sont semblables puisqu’ils ont deux angles égaux, ce qui entraîne
$ \frac{FA}{12} = \frac{FA}{CD} = \frac{BF}{BC} = \frac{BF}4,$
d’où l’on tire $BF = \frac 13 FA$. En utilisant le théorème de Pythagore dans le triangle $BFA$, on a
$FA^2 + BF^2 = AB^2$
$\frac{10}9 FA^2 = (12-4)^2$
$FA =\frac{24}{\sqrt{10}}\,\mbox{cm},$
d’où $BF = \frac{8}{\sqrt{10}}$ cm. Donc l’aire du triangle $BFA$ est égale à
$\frac{1}{2}\left(\frac{24}{\sqrt{10}}\times \frac{8}{\sqrt{10}}\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{96}{5}\right).$
L’aire du rectangle mesure $96\,\mbox{cm}^2$ plus deux fois l’aire du triangle $BFA$, ainsi l’aire du rectangle est égale à $96 +\frac{96}{5} = \frac{576}{5}\,\mbox{cm}^2$.
Calendrier mathématique 2016 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Aubin Arroyo, Fabiola Manjarrez et Ana Rechtman.
2015, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.
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Pour citer cet article :
Ana Rechtman — «Octobre 2016, 4e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2016
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