Enoncé

La réponse est $\frac{576}{5}\,\mbox{cm}^2$.

Le carré a pour aire $144\,\mbox{cm}^2$, donc ses côtés mesurent $\sqrt{144} = 12$ cm.

L’intersection du carré et du rectangle est formée de deux triangles superposables, $ABD$ et $AED$. Ainsi, l’aire de $ABD$ est $\frac {96}2 = 48\, \mbox{cm}^2$ et l’aire de $BCD$ est égale à $\frac{144}2 - 48=24\,\mbox{cm}^2$, d’où l’on tire

$\frac{BC \times CD}2 = 24$

$BC = \frac{48}{12} = 4\,\mbox{cm}.$

En outre, les triangles $BCD$ et $BFA$ sont semblables puisqu’ils ont deux angles égaux, ce qui entraîne

$ \frac{FA}{12} = \frac{FA}{CD} = \frac{BF}{BC} = \frac{BF}4,$

d’où l’on tire $BF = \frac 13 FA$. En utilisant le théorème de Pythagore dans le triangle $BFA$, on a

$FA^2 + BF^2 = AB^2$

$\frac{10}9 FA^2 = (12-4)^2$

$FA =\frac{24}{\sqrt{10}}\,\mbox{cm},$

d’où $BF = \frac{8}{\sqrt{10}}$ cm. Donc l’aire du triangle $BFA$ est égale à

$\frac{1}{2}\left(\frac{24}{\sqrt{10}}\times \frac{8}{\sqrt{10}}\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{96}{5}\right).$

L’aire du rectangle mesure $96\,\mbox{cm}^2$ plus deux fois l’aire du triangle $BFA$, ainsi l’aire du rectangle est égale à $96 +\frac{96}{5} = \frac{576}{5}\,\mbox{cm}^2$.